Определите соотношение коэффициентов жёсткости двух латунных проволок. Первая проволока имеет длину в 3 раза большую

Степан_1677

52

Чтобы решить эту задачу, мы можем использовать формулу для расчета коэффициента жесткости \(k\) проволоки:

\[k = \frac{{E \cdot A}}{{L}}\]

где:
\(E\) - модуль Юнга материала проволоки,
\(A\) - площадь поперечного сечения проволоки,
\(L\) - длина проволоки.

Пусть первая проволока имеет длину \(L_1\), диаметр \(d_1\), а вторая проволока имеет длину \(L_2\) и диаметр \(d_2\). Сначала нам нужно определить соотношение площадей поперечного сечения проволок.

Площадь поперечного сечения проволоки можно выразить через радиус проволоки \(r\):

\[A = \pi \cdot r^2\]

Учитывая, что диаметр есть вдвое больший радиуса, мы можем записать:

\[A_1 = \pi \cdot \left(\frac{{d_1}}{2}\right)^2\]
\[A_2 = \pi \cdot \left(\frac{{d_2}}{2}\right)^2\]

Теперь мы можем перейти к расчету соотношения коэффициентов жесткости. Для этого подставим полученные значения в формулу для \(k\):

\[k_1 = \frac{{E \cdot A_1}}{{L_1}}\]
\[k_2 = \frac{{E \cdot A_2}}{{L_2}}\]

Подставим выражения для \(A_1\) и \(A_2\):

\[k_1 = \frac{{E \cdot \pi \cdot \left(\frac{{d_1}}{2}\right)^2}}{{L_1}}\]
\[k_2 = \frac{{E \cdot \pi \cdot \left(\frac{{d_2}}{2}\right)^2}}{{L_2}}\]

Теперь найдем соотношение коэффициентов жесткости, \(k_2/k_1\):

\[\frac{{k_2}}{{k_1}} = \frac{{E \cdot \pi \cdot \left(\frac{{d_2}}{2}\right)^2}}{{L_2}} \div \frac{{E \cdot \pi \cdot \left(\frac{{d_1}}{2}\right)^2}}{{L_1}}\]

Сокращаем общие параметры:

\[\frac{{k_2}}{{k_1}} = \frac{{\left(\frac{{d_2}}{2}\right)^2}}{{\left(\frac{{d_1}}{2}\right)^2}} \cdot \frac{{L_1}}{{L_2}}\]

Подставим значения длины и диаметра в задаче:

\[\frac{{k_2}}{{k_1}} = \frac{{\left(\frac{{2d_2}}{2}\right)^2}}{{\left(\frac{{d_1}}{2}\right)^2}} \cdot \frac{{3L_1}}{{L_2}}\]

\[\frac{{k_2}}{{k_1}} = \frac{{4d_2^2}}{{d_1^2}} \cdot \frac{{3L_1}}{{L_2}}\]

Теперь мы можем подставить значения задачи и рассчитать результат. Обратите внимание, что значения диаметров необходимо удвоить в числителе, чтобы скомпенсировать деление на 2:

\[\frac{{k_2}}{{k_1}} = \frac{{4 \cdot (2d_2)^2}}{{(d_1)^2}} \cdot \frac{{3 \cdot L_1}}{{L_2}}\]

Теперь рассчитаем результат:

\(d_1 = \frac{d_2}{2}\), \(L_1 = 3L_2\)

\[\frac{{k_2}}{{k_1}} = \frac{{4 \cdot (2d_2)^2}}{{(d_2/2)^2}} \cdot \frac{{3 \cdot (3L_2)}}{{L_2}}\]

\[\frac{{k_2}}{{k_1}} = \frac{{16d_2^2}}{{(d_2/2)^2}} \cdot \frac{{9L_2}}{{L_2}}\]

Сокращаем:

\[\frac{{k_2}}{{k_1}} = 64 \cdot 9\]

\[\frac{{k_2}}{{k_1}} = 576\]

Итак, соотношение коэффициента жесткости второй проволоки, \(k_2\), к коэффициенту жесткости первой проволоки, \(k_1\), равно 576.