Определите точки экстремума функции y=5x−10cosx на интервале x∈[−π2;π] и опишите их характер. Введите ваш ответ

Янтарка

21

Чтобы найти точки экстремума функции \(y = 5x - 10\cos(x)\) на интервале \([-\frac{\pi}{2}, \pi]\), мы должны взять производную функции, приравнять ее к нулю и решить уравнение для \(x\).

Давайте найдем производную функции \(y\) относительно \(x\):

\[
\frac{dy}{dx} = 5 + 10\sin(x)
\]

Теперь приравняем \( \frac{dy}{dx} \) к нулю и решим уравнение:

\[
5 + 10\sin(x) = 0
\]

Вычтем 5 из обеих сторон:

\[
10\sin(x) = -5
\]

Теперь разделим обе стороны на 10:

\[
\sin(x) = -\frac{1}{2}
\]

Мы ищем значения \(x\) на интервале \([-\frac{\pi}{2}, \pi]\), где синус равен \(-\frac{1}{2}\). Вот некоторые известные значения:

\[
x = -\frac{\pi}{6}, \quad x = \frac{7\pi}{6}
\]

Заметим, что синус имеет период \([-\frac{\pi}{2}, \pi]\) и равен \(-\frac{1}{2}\) в двух точках. Таким образом, можно прибавлять периоды \(\pi\) и найти другие значения \(x\) на этом интервале.

Теперь, чтобы определить характер экстремумов, давайте возьмем вторую производную функции \(y\) относительно \(x\):

\[
\frac{d^2y}{dx^2} = 10\cos(x)
\]

Для \(x = -\frac{\pi}{6}\), вторая производная равна:

\[
\frac{d^2y}{dx^2} = 10\cos\left(-\frac{\pi}{6}\right) = 10\cdot\frac{\sqrt{3}}{2} = 5\sqrt{3}
\]

Поскольку вторая производная положительная, это означает, что точка \(x = -\frac{\pi}{6}\) является локальным минимумом. Теперь рассмотрим \(x = \frac{7\pi}{6}\):

\[
\frac{d^2y}{dx^2} = 10\cos\left(\frac{7\pi}{6}\right) = 10\cdot\frac{-\sqrt{3}}{2} = -5\sqrt{3}
\]

Поскольку вторая производная отрицательная, это означает, что точка \(x = \frac{7\pi}{6}\) является локальным максимумом.

Итак, точки экстремума функции \(y = 5x - 10\cos(x)\) на интервале \(x \in [-\frac{\pi}{2}, \pi]\) следующие:

\[
x = -\frac{\pi}{6} \text{ (локальный минимум)}, \quad x = \frac{7\pi}{6} \text{ (локальный максимум)}
\]

Экстремумы характеризуются значением функции \(y\) в этих точках. Если вам также необходимо получить значения функции в точках экстремума, пожалуйста, дайте знать.