Определите точку на графике функции y=f(x), где касательная параллельна заданной прямой: y=9+5x, f(x)=x33−6x2+41x−5

Tropik

22

Для решения данной задачи, нам необходимо найти точку на графике функции \(y=f(x)\), где касательная к этой точке будет параллельна заданной прямой \(y=9+5x\).

Чтобы найти такую точку, мы должны найти значение \(x\), в котором производная функции \(f"(x)\) равна коэффициенту при \(x\) в уравнении заданной прямой. В данном случае это равно 5.

Первым шагом необходимо найти производную функции \(f"(x)\). Для этого возьмем производную от каждого члена функции \(f(x)\) по очереди.

\[f"(x) = \frac{d}{dx}(x^3-6x^2+41x-5)\]

Производная члена \(x^n\) равна \(n \cdot x^{n-1}\), где \(n\) - степень переменной \(x\).

Производная функции \(f(x)\) будет равна:

\[f"(x) = 3x^2 - 12x + 41\]

Теперь, чтобы найти значение \(x\), мы должны решить уравнение \(f"(x) = 5\):

\[3x^2 - 12x + 41 = 5\]

Перепишем уравнение в виде:

\[3x^2 - 12x + 36 = 0\]

Решив это квадратное уравнение, получим два значения \(x\): \(x_1 = 2\) и \(x_2 = 6\).

Теперь, чтобы найти координаты точки на графике функции \(y=f(x)\), где касательная параллельна заданной прямой, подставим найденные значения \(x\) в исходную функцию \(f(x)\):

Для \(x_1 = 2\):
\[y = f(2) = 2^3 - 6 \cdot 2^2 + 41 \cdot 2 - 5 = 16 - 24 + 82 - 5 = 69\]

Для \(x_2 = 6\):
\[y = f(6) = 6^3 - 6 \cdot 6^2 + 41 \cdot 6 - 5 = 216 - 216 + 246 - 5 = 241\]

Таким образом, точка на графике функции \(y=f(x)\), где касательная параллельна заданной прямой \(y=9+5x\), имеет координаты (2, 69) и (6, 241), округленные до десятых.