Как решить уравнение cos7x +cos8x +cos9x?

Панда

52

Чтобы решить уравнение \(\cos(7x) + \cos(8x) + \cos(9x)\), мы будем использовать тригонометрический идентичность, известную как формула суммы двух косинусов. Согласно этой формуле, мы можем записать:

\[
\cos(a) + \cos(b) = 2\cos\left(\frac{{a + b}}{2}\right)\cos\left(\frac{{a - b}}{2}\right)
\]

Применяя эту формулу дважды, мы получим:

\[
\cos(7x) + \cos(8x) = 2\cos\left(\frac{{7x + 8x}}{2}\right)\cos\left(\frac{{7x - 8x}}{2}\right) = 2\cos\left(\frac{{15x}}{2}\right)\cos\left(\frac{{-x}}{2}\right)
\]

Теперь, добавим к этому \(\cos(9x)\):

\[
\cos(7x) + \cos(8x) + \cos(9x) = 2\cos\left(\frac{{15x}}{2}\right)\cos\left(\frac{{-x}}{2}\right) + \cos(9x)
\]

Воспользуемся снова формулой суммы двух косинусов, но на этот раз для \(\cos(9x)\) и \(\cos\left(\frac{{-x}}{2}\right)\):

\[
\cos(9x) + \cos\left(\frac{{-x}}{2}\right) = 2\cos\left(\frac{{9x - \frac{{-x}}{2}}}{2}\right)\cos\left(\frac{{9x + \frac{{-x}}{2}}}{2}\right) = 2\cos\left(\frac{{17x}}{4}\right)\cos\left(\frac{{7x}}{4}\right)
\]

Теперь, подставим это обратно в исходное уравнение:

\[
2\cos\left(\frac{{15x}}{2}\right)\cos\left(\frac{{-x}}{2}\right) + 2\cos\left(\frac{{17x}}{4}\right)\cos\left(\frac{{7x}}{4}\right)
\]

Это не легкодоступная формула для вычислений, но это полное выражение для \(\cos(7x) + \cos(8x) + \cos(9x)\). Если у вас конкретные значения для \(x\), то вы можете вычислить численное значение данного выражения.