Определите все возможные значения суммы на двух средних карточках, зная, что на 10 карточках, сумма которых равна

Игнат

24

Чтобы решить эту задачу, давайте разберемся пошагово. Пусть средние карточки будут обозначены как \(x\) и \(y\).

На 10 карточках с суммой 60, перед нами арифметическая прогрессия, так как числа на карточках упорядочены по возрастанию. В данном случае первый и последний члены этой прогрессии равны, а общая сумма определяется по формуле:
\[S = \frac{n}{2}(a_1 + a_n),\]
где \(n\) - количество членов прогрессии, \(a_1\) - первый член прогрессии, \(a_n\) - последний член прогрессии.

В нашем случае имеем:
\[S = \frac{10}{2}(a_1 + a_n) = 5(a_1 + a_n).\]
Так как сумма равна 60:
\[60 = 5(a_1 + a_n).\]

Чтобы найти значения суммы на двух средних карточках \(x\) и \(y\), давайте представим их через сумму первого и последнего членов прогрессии:
\[\begin{align*}
x &= a_1 + a_n - y, \\
y &= a_1 + a_n - x.
\end{align*}\]

Теперь можно заменить \(x\) и \(y\) в уравнении с суммой:
\[60 = 5[(a_1 + a_n - y) + (a_1 + a_n - x)].\]

Раскроем скобки и приведем подобные члены:
\[60 = 5(2a_1 + 2a_n - x - y).\]

Возвращаемся к нашим обозначениям средних карточек:
\[60 = 5(2a_1 + 2a_n - x - y).\]

Теперь подставим значения \(x = a_1 + a_n - y\) и \(y = a_1 + a_n - x\):
\[60 = 5(2a_1 + 2a_n - (a_1 + a_n - y) - (a_1 + a_n - x)).\]

Упростим уравнение:
\[60 = 5(2a_1 + 2a_n - 2a_1 - 2a_n + x + y).\]

Сократим подобные члены:
\[60 = 5(x + y).\]

Теперь разделим обе части уравнения на 5:
\[12 = x + y.\]

Таким образом, мы получаем, что сумма на двух средних карточках равна 12.

Подытожим полученный ответ: все возможные значения суммы на двух средних карточках будут равны 12.