Определите все значения параметра, при которых решение неравенства (ax-4)/(x+a)≥ 0 содержит интервал [−2

Vladimir

61

Для решения данной задачи, мы должны найти все значения параметра \(a\), при которых решение неравенства \(\frac{{ax-4}}{{x+a}} \geq 0\) содержит интервал \([-2, +\infty)\).

Давайте начнем с поиска точек разрыва. Неравенство будет неопределено, когда знаменатель \((x+a)\) равен нулю. Решим уравнение \(x+a=0\) относительно \(x\):

\[x = -a\]

Таким образом, у нас есть точка разрыва в \(x = -a\). Мы будем рассматривать интервалы на основе этой точки.

Теперь рассмотрим интервал \((-2, -a)\). В этом интервале, знаменатель \((x+a)\) всегда будет отрицательным, так как \(x < -a\). Чтобы неравенство \(\frac{{ax-4}}{{x+a}} \geq 0\) было истинным, числитель \((ax-4)\) должен быть отрицательным. Из этого следует, что \(a < 0\).

Следующий интервал - \((-a, +\infty)\). В этом интервале знаменатель \((x+a)\) всегда будет положительным, так как \(x > -a\). Чтобы неравенство \(\frac{{ax-4}}{{x+a}} \geq 0\) было истинным, числитель \((ax-4)\) должен быть положительным. Здесь у нас есть два варианта:

1. Если \(a > 0\), тогда числитель положителен, когда \(x > \frac{4}{a}\).

2. Если \(a < 0\), тогда числитель положительный, когда \(x < \frac{4}{a}\).

Таким образом, для интервала \((-a, +\infty)\) решением будет:
1. Если \(a > 0\): \(x > \frac{4}{a}\).
2. Если \(a < 0\): \(x < \frac{4}{a}\).

Итак, чтобы решение неравенства содержало интервал \([-2, +\infty)\), необходимо учесть оба интервала и условие \(a < 0\).

Таким образом, значения параметра \(a\), когда решение неравенства содержит интервал \([-2, +\infty)\), будут \(a < 0\).

Надеюсь, ответ был подробным и понятным для вас.