Определите значения параметра a, для которых функция y = 1 + a x 2 − 6 x принимает отрицательные значения на интервалах

Пингвин

2

Чтобы найти значения параметра \(a\), при которых функция \(y = 1 + ax^2 - 6x\) принимает отрицательные значения на заданных интервалах, мы можем провести анализ функции и использовать неравенства для нахождения ответа. Давайте начнем.

Для интервала \((-\infty, -1)\) нам нужно обратить внимание на значение \(x\) между -\infty и -1. Рассмотрим сначала \(x = -2\). Подставляя это значение в функцию, получаем:

\[y = 1 + a(-2)^2 - 6(-2) = 1 + 4a + 12 = 13 + 4a.\]

Мы хотим, чтобы \(y\) было отрицательным, значит, у нас есть неравенство \(13 + 4a < 0\). Из этого неравенства мы можем выразить \(a\):

\[4a < -13 \Rightarrow a < -\frac{13}{4}.\]

Таким образом, для интервала \((-\infty, -1)\) параметр \(a\) должен быть меньше \(-\frac{13}{4}\), чтобы функция \(y\) принимала отрицательные значения.

Теперь рассмотрим интервал \((\frac{1}{7}, +\infty)\). Здесь значение \(x\) должно быть больше \(\frac{1}{7}\). Пусть \(x = 2\). Подставляя это значение в функцию, получаем:

\[y = 1 + a(2)^2 - 6(2) = 1 + 4a - 12 = 4a - 11.\]

Мы хотим, чтобы \(y\) было отрицательным, значит, у нас есть неравенство \(4a - 11 < 0\). Из этого неравенства мы можем выразить \(a\):

\[4a < 11 \Rightarrow a < \frac{11}{4}.\]

Таким образом, для интервала \((\frac{1}{7}, +\infty)\) параметр \(a\) должен быть меньше \(\frac{11}{4}\), чтобы функция \(y\) принимала отрицательные значения.

Теперь нам нужно найти наибольшее целое число, которое удовлетворяет обоим условиям. Мы заметим, что наибольшим целым числом, меньшим и -\frac{13}{4}, и \frac{11}{4}, будет -4. Таким образом, значение параметра \(a = -4\) удовлетворяет обоим условиям.

Ответ: -4