Отметьте верные утверждения: 1) Дробь с числителем, меньшим знаменателя, больше той, у которой число ниже 2. 2) Дробь

Снегурочка_5618

5

Давайте посмотрим на каждое утверждение по очереди и докажем или опровергнем их.

1) Дробь с числителем, меньшим знаменателя, больше той, у которой число ниже 2.
Давайте рассмотрим две дроби: \(\frac{a}{b}\) и \(\frac{2}{a}\), где \(a\) и \(b\) - положительные числа.
Если \(a < b\) и \(a < 2\), докажем, что \(\frac{a}{b}\) больше, чем \(\frac{2}{a}\).

Умножим обе дроби на \(a\cdot b\), чтобы избавиться от знаменателей:
\(\frac{a}{b} \cdot a \cdot b > \frac{2}{a} \cdot a \cdot b\)

Получаем:
\(a^2 > 2b\)

Мы не указали конкретные значения для \(a\) и \(b\), однако важно заметить, что дробь \(\frac{a}{b}\) будет больше дроби \(\frac{2}{a}\) только если \(a^2 > 2b\). Это значит, что первое утверждение является неверным.

2) Дробь может быть сокращена, если числитель и знаменатель являются взаимно простыми числами.
Чтобы доказать это утверждение, нам нужно понимать, что значит, что числитель и знаменатель являются взаимно простыми числами.

Взаимно простыми называются два числа, если их наибольший общий делитель равен 1.

Если числитель и знаменатель дроби не имеют общих простых делителей, кроме 1, то такая дробь считается несократимой.

Таким образом, утверждение 2 является верным.

3) Два числа, которые являются взаимно обратными, могут быть представлены в виде правильных дробей.
Два числа \(a\) и \(b\) называются взаимно обратными (или обратными), если их произведение равно 1: \(a \cdot b = 1\).

Чтобы проверить это утверждение, представим числа \(a\) и \(b\) в виде дробей: \(\frac{p}{q}\) и \(\frac{q}{p}\), где \(p\) и \(q\) - ненулевые числа.

Умножим обе дроби:
\(\frac{p}{q} \cdot \frac{q}{p} = \frac{p \cdot q}{q \cdot p} = \frac{pq}{pq} = 1\)

Таким образом, утверждение 3 является верным.

4) Если в результате деления количество отрицательных множителей четное число, то частное будет больше нуля.
Чтобы проверить это утверждение, давайте рассмотрим несколько случаев.
Пусть \(a\) и \(b\) - два положительных числа и \(c\) - отрицательное число.

а) Если \(a\) и \(b\) положительные, а \(c\) отрицательное, то получим:
\(\frac{a}{c} > 0\) и \(\frac{b}{c} > 0\).
Так как \(c\) отрицательное, то частные будут положительными числами.

б) Если \(a\) положительное, \(b\) отрицательное, а \(c\) отрицательное, то получим:
\(\frac{a}{c} > 0\) и \(\frac{b}{c} < 0\).
Так как одно из частных отрицательное, а другое положительное, то результатом деления будет отрицательное число.

в) Если \(a\) и \(b\) отрицательные, а \(c\) отрицательное, то получим:
\(\frac{a}{c} < 0\) и \(\frac{b}{c} < 0\).
Так как \(c\) отрицательное, то оба частных будут положительными числами.

Таким образом, утверждение 4 является верным.

В результате анализа каждого утверждения, мы можем заключить, что верными являются утверждения:

2) Дробь может быть сокращена, если числитель и знаменатель являются взаимно простыми числами.
3) Два числа, которые являются взаимно обратными, могут быть представлены в виде правильных дробей.
4) Если в результате деления количество отрицательных множителей четное число, то частное будет больше нуля.