Параллелепипед abcda1b1c1d1 является прямоугольным. Точки k и l являются центрами граней bb1c1c и a1b1c1d1

Sladkaya_Ledi

47

а) Для начала, докажем, что точка пересечения прямой kl с плоскостью основания abcd лежит на прямой, проходящей через вершины b и c. Это означает, что мы должны доказать, что она расположена на отрезке bc.

Обратимся к свойству прямоугольного параллелепипеда. Если прямоугольный параллелепипед имеет ребра a1b1, bb1 и c1d1, то центры этих граней лежат на одной прямой. То есть точка l, являющаяся центром грани a1b1c1d1, должна лежать на прямой, проходящей через центры граней a1b1 и c1d1. Точка k, являющаяся центром грани bb1c1c, должна лежать на прямой, проходящей через центры граней bb1c1 и a1b1c1d1.

Таким образом, мы имеем три точки: l, k и центр грани bb1c1c. Проведем прямые lk и la1b1c1d1. Обратим внимание, что lk и la1b1c1d1 пересекаются в точке, которая находится на прямой, проходящей через вершины b и c.

Теперь, докажем, что прямая kl пересекается с плоскостью основания abcd. Для этого нам потребуется доказать, что прямая, проходящая через точку k и параллельная одной из сторон основания abcd, пересекается с этим основанием. Пусть это будет прямая, параллельная стороне ab. Обозначим точку пересечения этой прямой с плоскостью основания abcd как точку P.

Теперь, заметим, что прямая lk параллельна прямой, проходящей через вершины b и c, так как lk является отрезком прямой, проходящей через центры граней bb1c1c и a1b1c1d1. Таким образом, прямая kl и прямая, параллельная стороне abcd и проходящая через точку k, также параллельны.

Так как прямая, проходящая через вершины b и c, пересекается с плоскостью основания abcd в точке P, и прямая kl, параллельная этой прямой, пересекается с плоскостью основания abcd на прямой, проходящей через вершины b и c, то точка пересечения прямой kl с плоскостью основания abcd находится на равном расстоянии от вершин b и c.

б) Чтобы найти котангенс угла между прямыми md1 и kl, нам нужно знать коэффициенты наклона этих прямых. По условию задачи, известно, что ab=2aa1.

Так как ab=2aa1, мы можем сделать вывод, что точка b находится в середине отрезка aa1. Из этого следует, что прямая md1, проходящая через вершины m и d1, является высотой прямоугольного параллелепипеда abcda1b1c1d1, опущенной на основание abcd.

Котангенс угла между прямыми md1 и kl можно найти, используя соотношение \(cot \theta = \frac{1}{tan \theta}\), где \(\theta\) - угол между прямыми.

Теперь, давайте найдем коэффициент наклона прямой kl. Пусть точки x и y принадлежат прямой kl. Тогда координаты точки x можно записать как \((x_1, x_2, x_3)\), а координаты точки y как \((y_1, y_2, y_3)\).

Так как точка k является центром грани bb1c1c, то она делит отрезок, соединяющий вершины b и c, пополам. То есть координаты точки k можно записать как \((b_1/2, b_2/2, b_3/2)\).

Точка l, являющаяся центром грани a1b1c1d1, может быть записана как \((a_1 + c_1/2, a_2 + c_2/2, a_3 + c_3/2)\).

Тогда, коэффициент наклона прямой kl равен:

\[k = \frac{y_2 - x_2}{y_1 - x_1} = \frac{(a_2 + c_2/2) - (b_2/2)}{(a_1 + c_1/2) - (b_1/2)}\]

Теперь, для того чтобы найти котангенс угла между прямыми md1 и kl, нам нужно найти котангенс угла между прямыми md1 и основанием abcd, а затем найти котангенс угла между основанием abcd и прямой kl.

Прямая md1, проходящая через вершины m и d1 находится в плоскости a1b1c1d.

Таким образом, нам нужно найти котангенс угла между прямой, проходящей через точку m и перпендикулярную плоскости abcd, и прямой, лежащей в плоскости abcd.

Для этого, мы можем использовать соотношение \(cot \theta = \frac{1}{tan \theta}\), где \(\theta\) - угол между прямymi.

Угол между прямой, перпендикулярной плоскости abcd, и прямой, лежащей в плоскости abcd, равен 90 градусам. Таким образом, котангенс этого угла равен нулю.

Теперь, чтобы найти котангенс угла между прямой md1 и прямой kl, мы можем использовать свойство, что котангенс суммы или разности углов равен отношению суммы или разности котангенсов соответствующих углов.

Таким образом, котангенс угла между прямыми md1 и kl равен:

\[cot \theta = \frac{cot (90^\circ) - cot (\text{угла между основанием abcd и прямой kl})}{1 + cot (90^\circ) \cdot cot(\text{угла между основанием abcd и прямой kl})}\]

Учитывая, что котангенс угла 90 градусов равен нулю, мы можем упростить формулу:

\[cot \theta = \frac{0 - cot (\text{угла между основанием abcd и прямой kl})}{1 + 0 \cdot cot(\text{угла между основанием abcd и прямой kl})}\]

\[cot \theta = \frac{-cot (\text{угла между основанием abcd и прямой kl})}{1}\]

Таким образом, котангенс угла между прямыми md1 и kl равен противоположному котангенсу угла между основанием abcd и прямой kl.