Параллелепипедтің табандығы кутілдіктерін 3 см және 5 см болатын. Олардың ортасындағы бұрыш 60 градус
Параллелепипедтің табандығы кутілдіктерін 3 см және 5 см болатын. Олардың ортасындағы бұрыш 60 градус. Параллелепипедтің диагоналі 10 см болады. Параллелепипедтің өлшемні табыңыз.
Martyshka 17
Хорошо, чтобы найти размеры параллелепипеда, нам понадобится использовать знания о геометрии и тригонометрии. Давайте разберемся.Let"s denote the length of the parallelepiped as \(a\), the width as \(b\), and the height as \(c\).
Нам дано, что ширина равна 3 см, \(b = 3\, \text{см}\), и длина равна 5 см, \(a = 5\, \text{см}\).
Мы можем установить связь между высотой (\(c\)), длиной (\(a\)), шириной (\(b\)), и диагональю (\(d\)) параллелепипеда, используя теорему Пифагора:
\[d^2 = a^2 + b^2 + c^2\]
У нас также есть информация о центральном угле (\(60^\circ\)), который образован диагональю параллелепипеда и одной из сторон:
\(\cos 60^\circ = \frac{b}{d}\)
Мы можем использовать эту информацию, чтобы найти высоту (\(c\)).
Для начала, найдем диагональ (\(d\)). У нас есть уравнение:
\[10^2 = 5^2 + 3^2 + c^2\]
Теперь решим это уравнение:
Simplify the equation:
\[100 = 25 + 9 + c^2\]
Combine the terms:
\[100 = 34 + c^2\]
Subtract 34 from both sides:
\[100 - 34 = c^2\]
Evaluate the left side:
\[66 = c^2\]
To find the value of \(c\), we take the square root of both sides:
\[c = \sqrt{66}\, \text{см}\]
Таким образом, высота параллелепипеда равна \(\sqrt{66}\, \text{см}\).
Теперь мы можем найти объем параллелепипеда, умножив длину, ширину и высоту:
\[V = a \cdot b \cdot c\]
\[V = 5 \cdot 3 \cdot \sqrt{66}\, \text{см}^3\]
Таким образом, объем параллелепипеда равен \(15 \cdot \sqrt{66}\, \text{см}^3\).
Также мы можем найти площадь поверхности параллелепипеда. Общая площадь поверхности параллелепипеда равна сумме площадей всех его граней:
\[S = 2(ab + ac + bc)\]
\[S = 2(5 \cdot 3 + 5 \cdot \sqrt{66} + 3 \cdot \sqrt{66})\, \text{см}^2\]
Таким образом, площадь поверхности параллелепипеда равна \(2(15 + 5 \sqrt{66} + 3 \sqrt{66})\, \text{см}^2\).
Полученные значения объема и площади поверхности параллелепипеда являются приближенными, поскольку мы использовали только приближенное значение для \(\sqrt{66}\).