Параллелограмм имеет равные углы с одной из его сторон, образованные двумя диагоналями. Докажите, что середина этой
Параллелограмм имеет равные углы с одной из его сторон, образованные двумя диагоналями. Докажите, что середина этой стороны находится на одинаковом расстоянии от всех вершин параллелограмма.
Светлый_Мир 64
Для доказательства этого утверждения рассмотрим параллелограмм ABCD, где AB и CD — стороны параллелограмма, а AC и BD — его диагонали. Пусть E — середина стороны AB.Для начала, заметим, что середина стороны AB делит данный отрезок на две равные части, то есть AE = EB. Это следует из свойств серединного перпендикуляра к отрезку AB.
Теперь обратим внимание на коэффициенты подобия треугольников. Так как параллелограмм ABCD имеет равные углы с одной из его сторон, то треугольники ACD и BCA подобны. Отсюда следует, что \(\frac{AD}{AC} = \frac{BC}{AB}\).
Используем полученные соотношения и построим отрезки DE и CE. Так как AD = BC (по свойству параллелограмма), то \(\frac{DE}{AC} = \frac{CE}{AB}\).
Заметим, что получили два равенства с одинаковыми отношениями. Пользуясь свойством одинаковых отношений в подобных треугольниках, получаем \(\frac{DE}{AC} = \frac{AE}{AB}\).
Далее, заметим, что AE = EB, поэтому можно переписать это равенство в виде \(\frac{DE}{AC} = \frac{EB}{AB}\).
Теперь, заметим, что отношения \(\frac{DE}{AC}\) и \(\frac{EB}{AB}\) равны, а значит, \(\frac{DE}{AC} = \frac{EB}{AB} = \frac{1}{2}\). Что означает, что отрезок DE является серединным перпендикуляром к стороне AC. Иными словами, середина стороны AB находится на одинаковом расстоянии от всех вершин параллелограмма.
Таким образом, мы доказали, что середина стороны параллелограмма, имеющей равные углы с одной из его диагоналей, находится на одинаковом расстоянии от всех его вершин.