В тетраэдре DABC, точка M делит ребро AD пополам. Известно, что в этом тетраэдре BA=BD и CA=CD. На рисунке требуется

Zolotoy_Gorizont_5202

4

Задача: В тетраэдре DABC, точка M делит ребро AD пополам. Известно, что в этом тетраэдре BA=BD и CA=CD. Необходимо доказать, что прямая, на которой находится ребро AD, перпендикулярна плоскости (BCM).

1. Назовите тип треугольников:
Треугольник ΔADB является равнобедренным, так как сторона BA равна стороне BD.
Треугольник ΔDAC также является равнобедренным, так как сторона CA равна стороне CD.

2. Каков угол между медианой и основанием этих треугольников?
Для нахождения угла между медианой и основанием равнобедренного треугольника, мы можем использовать теорему косинусов.

Обозначим основание равнобедренного треугольника как сторона a, а медиану как сторону b. Угол между медианой и основанием обозначим как θ.

Из теоремы косинусов мы получаем следующее соотношение:
\[b^2 = \frac{a^2}{2} + \frac{a^2}{2} - 2 \cdot \frac{a^2}{2} \cdot \cos \theta\]

Учитывая, что сторона a в треугольниках ΔADB и ΔDAC одинакова, получаем:
\[b_1^2 = a^2 - a^2 \cdot \cos \theta_1\]
\[b_2^2 = a^2 - a^2 \cdot \cos \theta_2\]

3. Согласно определению, если прямая перпендикулярна прямым в некой плоскости, то она перпендикулярна этой плоскости.
Так как медианы треугольников ΔADB и ΔDAC являются отрезками, соединяющими вершину каждого треугольника с серединой основания, они лежат в одной плоскости с треугольниками. Таким образом, прямая, на которой находится ребро AD, является медианой и перпендикулярна плоскости (BCM).

Данное утверждение подкрепляется тем, что медианы треугольников пересекаются в одной точке - центре тяжести. В случае равнобедренного треугольника, подобная точка будет находиться на оси симметрии, проходящей через вершину и середину основания. При этом, прямая, проходящая через эту точку (центр тяжести) и середину основания, будет перпендикулярна плоскости треугольника.

Таким образом, прямая, на которой находится ребро AD, перпендикулярна плоскости (BCM).