Переформулируйте систему координат в трехмерном пространстве и последовательно решите следующие задачи: 1. Найдите
Переформулируйте систему координат в трехмерном пространстве и последовательно решите следующие задачи:
1. Найдите координаты вектора 2a⃗ −b⃗ , если известны координаты векторов a⃗ {−4;1;5} и b⃗ {3;−5;−1}.
2. Определите значения переменных s и t, при которых векторы a⃗ {3;0;4} и b⃗ {0;1;−8} коллинеарны.
3. Найдите координаты точки K, если известны координаты точек A(0;3;4) и В(1;4;4), а точка K является их серединой.
4. Вычислите расстояние от точки P(-2; 3; 1) до оси абсцисс.
5. Используя информацию о тетраэдре ABCD и том, что точка M является серединой ребра BC, выразите вектор ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ как функцию векторов ⃗⃗⃗⃗⃗ ,⃗⃗⃗⃗⃗ и ⃗⃗⃗⃗⃗.
1. Найдите координаты вектора 2a⃗ −b⃗ , если известны координаты векторов a⃗ {−4;1;5} и b⃗ {3;−5;−1}.
2. Определите значения переменных s и t, при которых векторы a⃗ {3;0;4} и b⃗ {0;1;−8} коллинеарны.
3. Найдите координаты точки K, если известны координаты точек A(0;3;4) и В(1;4;4), а точка K является их серединой.
4. Вычислите расстояние от точки P(-2; 3; 1) до оси абсцисс.
5. Используя информацию о тетраэдре ABCD и том, что точка M является серединой ребра BC, выразите вектор ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ как функцию векторов ⃗⃗⃗⃗⃗ ,⃗⃗⃗⃗⃗ и ⃗⃗⃗⃗⃗.
Сердце_Огня 2
Система координат в трехмерном пространстве использует три оси - ось абсцисс (OX), ось ординат (OY) и ось аппликат (OZ). Каждая ось перпендикулярна к другим двум осям и формирует правую тройку осей.1. Для нахождения координат вектора \(2\vec{a} - \vec{b}\) необходимо вычислить поэлементную разность координат вектора \(\vec{b}\) из удвоенных координат вектора \(\vec{a}\):
\[
2\vec{a} - \vec{b} = 2(-4;1;5) - (3;-5;-1) = (-8;2;10) - (3;-5;-1) = (-8-3;2-(-5);10-(-1)) = (-11;7;11)
\]
Таким образом, координаты вектора \(2\vec{a} - \vec{b}\) равны \((-11;7;11)\).
2. Для определения значений переменных \(s\) и \(t\), при которых векторы \(\vec{a}\) и \(\vec{b}\) коллинеарны, необходимо составить систему уравнений и решить ее. Два вектора коллинеарны, если их соответствующие координатные отношения пропорциональны. Составим систему уравнений на основе этого условия:
\[
\begin{cases}
3s = 0 \\
t = \frac{1}{0} \\
4s = -8
\end{cases}
\]
Первое уравнение даёт нам \(s = 0\). Второе уравнение не имеет решений, так как деление на ноль невозможно. Третье уравнение даёт нам также \(s = -2\). Таким образом, значение переменной \(s\) может быть равно как 0, так и -2.
3. Чтобы найти координаты точки \(K\), которая является серединой отрезка, соединяющего точки \(A\) и \(B\), необходимо найти среднее арифметическое значения координат векторов \(A\) и \(B\) по отдельным осям:
\[
K\left(\frac{0+1}{2}; \frac{3+4}{2}; \frac{4+4}{2}\right) = \left(\frac{1}{2}; \frac{7}{2}; 4\right)
\]
Таким образом, координаты точки \(K\) равны \(\left(\frac{1}{2}; \frac{7}{2}; 4\right)\).
4. Чтобы вычислить расстояние от точки \(P(-2; 3; 1)\) до оси абсцисс, необходимо найти проекцию вектора, соединяющего точку \(P\) с точкой отсчета (началом координат), на ось абсцисс. Проекция равна значения координаты \(x\) точки \(P\). Таким образом, расстояние равно модулю значения координаты \(x\) точки \(P\):
\[
\text{Расстояние} = |-2| = 2
\]
Таким образом, расстояние от точки \(P(-2; 3; 1)\) до оси абсцисс равно 2.
5. Выражение вектора \(\vec{AM}\) можно получить, найдя разность координат векторов \(\vec{A}\) и \(\vec{M}\). Таким образом,
\[
\vec{AM} = \vec{M} - \vec{A}
\]
В данном случае, точка \(M\) является серединой ребра \(BC\), поэтому ее координаты можно найти, взяв полусумму соответствующих координат точек \(B\) и \(C\):
\[
\vec{M} = \left(\frac{0 + 1}{2}; \frac{1 + 4}{2}; \frac{-8 + 4}{2}\right) = \left(\frac{1}{2}; \frac{5}{2}; -2\right)
\]
Теперь, подставив известные значения координат и вычислив разность, получаем:
\[
\vec{AM} = \left(\frac{1}{2} - 0; \frac{5}{2} - 3; -2 - 4\right) = \left(\frac{1}{2}; -\frac{1}{2}; -6\right)
\]
Таким образом, вектор \(\vec{AM}\) равен \(\left(\frac{1}{2}; -\frac{1}{2}; -6\right)\).