Перефразированные вопросы: 1. Какое условие должно выполняться, чтобы четырехугольник с вершинами A (1;-2;3

Пеликан_982

59

Хорошо, рассмотрим каждый вопрос по очереди и предоставим детальные ответы.

1. Чтобы четырехугольник с вершинами A (1;-2;3), B (3;2;1), C (6;4;4) и D (4;0;6) был параллелограммом, должны выполняться два условия: противоположные стороны должны быть равными и параллельными, и две диагонали должны пересекаться в их средних точках. Давайте проверим эти условия.

Для начала, найдем длины сторон четырехугольника:
AB = \(\sqrt{(3-1)^2 + (2-(-2))^2 + (1-3)^2}\) = \(\sqrt{2^2 + 4^2 + (-2)^2}\) = \(\sqrt{4 + 16 + 4}\) = \(\sqrt{24}\) = \(2\sqrt{6}\)
BC = \(\sqrt{(6-3)^2 + (4-2)^2 + (4-1)^2}\) = \(\sqrt{3^2 + 2^2 + 3^2}\) = \(\sqrt{9 + 4 + 9}\) = \(\sqrt{22}\)
CD = \(\sqrt{(4-6)^2 + (0-4)^2 + (6-4)^2}\) = \(\sqrt{(-2)^2 + (-4)^2 + 2^2}\) = \(\sqrt{4 + 16 + 4}\) = \(\sqrt{24}\) = \(2\sqrt{6}\)
DA = \(\sqrt{(1-4)^2 + (-2-0)^2 + (3-6)^2}\) = \(\sqrt{(-3)^2 + (-2)^2 + (-3)^2}\) = \(\sqrt{9 + 4 + 9}\) = \(\sqrt{22}\)

Теперь проверим условие равенства и параллельности противоположных сторон:
AB || CD, так как вектор AB (2;-4;-2) и вектор CD (-2;-4;2) коллинеарны и могут быть пропорциональными.
BC || DA, так как вектор BC (3;2;3) и вектор DA (-3;-2;-3) коллинеарны и могут быть пропорциональными.

Теперь проверим условие пересечения диагоналей:
Для этого найдем векторы, соединяющие средние точки противоположных сторон четырехугольника:
Медиана 1: AC = ((1+6)/2, (-2+4)/2, (3+4)/2) = (3.5, 1, 3.5)
Медиана 2: BD = ((3+4)/2, (2+0)/2, (1+6)/2) = (3.5, 1, 3.5)

Вектор AC (3.5-1, 1-(-2), 3.5-3) = (2.5, 3, 0.5)
Вектор BD (3.5-4, 1-2, 3.5-1) = (-0.5, -1, 2.5)

Векторы AC и BD не равны, поэтому диагонали не пересекаются в средних точках.

Косинус угла А можно найти, используя формулу cos(A) = (AB·BC) / (|AB| |BC|), где AB·BC - скалярное произведение векторов AB и BC, а |AB| и |BC| - их длины.
AB·BC = (2;-4;-2)·(3;2;3) = 2*3 + (-4)*2 + (-2)*3 = 6 - 8 - 6 = -8
|AB| = \(2\sqrt{6}\)
|BC| = \(\sqrt{22}\)

cos(A) = (-8) / (\(2\sqrt{6}\) * \(\sqrt{22}\))

2. Чтобы узнать, являются ли векторы а{-2;1;4} и в{3;4;-2} перпендикулярными, необходимо проверить, равно ли их скалярное произведение нулю.

а·в = (-2)*3 + 1*4 + 4*(-2) = -6 + 4 - 8 = -10

Скалярное произведение не равно нулю, следовательно, векторы а и в не являются перпендикулярными.

3. Чтобы определить, какие из векторов AB, BC, DC и AD являются равными, нужно вычислить длины этих векторов.

Длина вектора AB = \(\sqrt{(2-1)^2 + (7-0)^2 + (-3-3)^2}\) = \(\sqrt{(1)^2 + (7)^2 + (-6)^2}\) = \(\sqrt{1 + 49 + 36}\) = \(\sqrt{86}\)
Длина вектора BC = \(\sqrt{(1+3)^2 + (0-4)^2 + (3-(-4))^2}\) = \(\sqrt{(4)^2 + (-4)^2 + (7)^2}\) = \(\sqrt{16 + 16 + 49}\) = \(\sqrt{81}\) = 9
Длина вектора DC = \(\sqrt{((-3)-(-2))^2 + ((-4)-3)^2 + (5-(-1))^2}\) = \(\sqrt{(1)^2 + (-7)^2 + (6)^2}\) = \(\sqrt{1 + 49 + 36}\) = \(\sqrt{86}\)
Длина вектора AD = \(\sqrt{((2)-(-2))^2 + ((7)-0)^2 + ((-3)-(-1))^2}\) = \(\sqrt{(4)^2 + (7)^2 + (-2)^2}\) = \(\sqrt{16 + 49 + 4}\) = \(\sqrt{69}\)

Из полученных значений видно, что длины векторов AB и DC равны (\(\sqrt{86}\)), а длины векторов BC и AD равны (9). Значит, векторы AB и DC являются равными, а векторы BC и AD являются равными.

Надеюсь, эти развернутые ответы помогут вам понять материал лучше. Если у вас возникнут еще вопросы, не стесняйтесь спрашивать!