Перепишите комплексное число -5i в показательной и тригонометрической формах. Найдите значение z^6, если z=-√3+i

Турандот

52

Хорошо! Давайте начнем с переписывания комплексного числа -5i в показательной и тригонометрической формах.

1. Показательная форма:
Чтобы перейти от обычной формы комплексного числа \(a + bi\) к показательной форме, мы используем формулу Эйлера: \(z = r \cdot e^{i\theta}\), где \(r\) - модуль комплексного числа, а \(\theta\) - аргумент комплексного числа.

В данном случае у нас \(a = 0\) (поскольку здесь только мнимая часть) и \(b = -5\).
Модуль комплексного числа можно найти, используя формулу: \(r = \sqrt{a^2 + b^2}\).
В нашем случае \(r = \sqrt{0^2 + (-5)^2} = 5\).

Аргумент комплексного числа можно найти, используя формулу: \(\theta = \arctan\left(\frac{b}{a}\right)\).
Здесь \(a = 0\) и \(b = -5\), поэтому \(\theta = \arctan\left(\frac{-5}{0}\right) = \frac{-\pi}{2}\) (так как угол в показательной форме измеряется в радианах).

Таким образом, комплексное число -5i в показательной форме будет равно: \(z = 5 \cdot e^{i \cdot \frac{-\pi}{2}}\).

2. Тригонометрическая форма:
Тригонометрическая форма комплексного числа представляет его в виде \(z = R(\cos(\theta) + i\sin(\theta))\), где \(R\) - модуль комплексного числа, \(\theta\) - аргумент комплексного числа.

В нашем случае \(R = 5\), а \(\theta = \frac{-\pi}{2}\).
Таким образом, комплексное число -5i в тригонометрической форме будет равно: \(z = 5(\cos(\frac{-\pi}{2}) + i\sin(\frac{-\pi}{2}))\).

Теперь, когда мы переписали данное комплексное число в показательной и тригонометрической формах, мы можем перейти к следующей части задачи.

Дано: \(z = -\sqrt{3} + i\)
Найти: \(z^6\)

Чтобы найти значение \(z^6\), мы можем возвести это комплексное число в шестую степень, используя соответствующие формулы для показательной и тригонометрической форм. Я расскажу оба подхода:

1. Используя показательную форму:
Мы можем возвести \(z\) в шестую степень, используя формулу множественных показателей: \(z^n = (re^{i\theta})^n = r^n \cdot e^{i\cdot n\theta}\).

В нашем случае, \(z = -\sqrt{3} + i\), \(r = \sqrt{(-\sqrt{3})^2 + 1^2} = 2\), и \(\theta = \arctan\left(\frac{1}{-\sqrt{3}}\right) = \frac{\pi}{3}\).
Подставляя значения в формулу, получим: \(z^6 = 2^6 \cdot e^{i\cdot 6\cdot\frac{\pi}{3}}\).

2. Используя тригонометрическую форму:
Также мы можем возвести \(z\) в шестую степень, используя формулу: \(z^n = R^n(\cos(n\theta) + i\sin(n\theta))\).

В нашем случае, \(z = -\sqrt{3} + i\), \(R = 2\), и \(\theta = \frac{\pi}{3}\).
Подставляя значения в формулу, получим: \(z^6 = 2^6(\cos(6\cdot\frac{\pi}{3}) + i\sin(6\cdot\frac{\pi}{3}))\).

Таким образом, мы получили шестую степень комплексного числа \(z\).
Надеюсь, этот подробный ответ помог вам разобраться в задаче! Если у вас возникнут еще вопросы, пожалуйста, задавайте!