Перепишите выражение c2/c2-4 - c/c-2 в упрощенной форме и определите его значение при c=1/2​

Янгол

25

Хорошо! Для начала, давайте развернем исходное выражение:

\[\frac{c^2}{c^2 - 4} - \frac{c}{c - 2}\]

Для упрощения этого выражения, мы можем начать с общего знаменателя. Умножим первое слагаемое на \(\frac{c-2}{c-2}\), а второе слагаемое - на \(\frac{c^2 - 4}{c^2 - 4}\):

\[\frac{c^2}{c^2 - 4} \cdot \frac{c - 2}{c - 2} - \frac{c}{c - 2} \cdot \frac{c^2 - 4}{c^2 - 4}\]

Раскроем скобки в числителях:

\[\frac{c^3 - 2c^2}{(c^2 - 4)(c - 2)} - \frac{c^3 - 4c}{(c^2 - 4)(c - 2)}\]

Теперь объединим два слагаемых:

\[\frac{c^3 - 2c^2 - (c^3 - 4c)}{(c^2 - 4)(c - 2)}\]

Упростим числитель, избавившись от скобок:

\[\frac{c^3 - 2c^2 - c^3 + 4c}{(c^2 - 4)(c - 2)}\]

Сократим подобные члены:

\[\frac{-2c^2 + 4c}{(c^2 - 4)(c - 2)}\]

Теперь давайте посчитаем значение этого выражения при \(c = \frac{1}{2}\). Подставим этот значенкние вместо \(c\):

\[\frac{-2\left(\frac{1}{2}\right)^2 + 4\left(\frac{1}{2}\right)}{\left(\left(\frac{1}{2}\right)^2 - 4\right)\left(\frac{1}{2} - 2\right)}\]

Упростим числитель:

\[\frac{-2\cdot\frac{1}{4} + 2}{\left(\frac{1}{4}-4\right)\left(\frac{1}{2}-2\right)}\]

\[\frac{-\frac{1}{2} + 2}{\left(\frac{1}{4}-4\right)\left(\frac{1}{2}-2\right)}\]

Теперь выполним вычисления в числителе и знаменателе:

Числитель:
\[-\frac{1}{2} + 2 = \frac{4}{2} - \frac{1}{2} = \frac{3}{2}\]

Знаменатель:
\[\left(\frac{1}{4} - 4\right)\left(\frac{1}{2} - 2\right) = \left(-\frac{15}{4}\right)\left(-\frac{3}{2}\right) = \frac{45}{8}\]

Конечный ответ:
\[\frac{3}{2} \cdot \frac{8}{45} = \frac{24}{90} = \frac{4}{15}\]

Таким образом, упрощенная форма выражения \(\frac{c^2}{c^2 - 4} - \frac{c}{c - 2}\) при \(c = \frac{1}{2}\) равна \(\frac{4}{15}\).