Перепишите z в алгебраической форме как z = -41 + 63i / 50 - 6i + 1 / 1

Kosmicheskiy_Puteshestvennik_3469

33

Хорошо. Давайте решим эту задачу пошагово.

1. Для начала, разделим дробь -41 + 63i на 50 - 6i + 1:
\[\frac{-41 + 63i}{50 - 6i + 1}\]

2. Чтобы сделать деление более удобным, раскроем скобки в знаменателе:
\[\frac{-41 + 63i}{51 - 6i}\]

3. Чтобы избавиться от комплексного числа в знаменателе, умножим числитель и знаменатель на сопряженное комплексное число. Сопряженное комплексное число получается изменением знака мнимой части. В данном случае, сопряженным числом для \(51 - 6i\) будет \(51 + 6i\):
\[\frac{(-41 + 63i)(51 + 6i)}{(51 - 6i)(51 + 6i)}\]

4. Теперь перемножим числитель и знаменатель:
\[\frac{-41(51) + (-41)(6i) + (63i)(51) + (63i)(6i)}{(51)^2 + (6i)(51) - (6i)(51) - (6i)^2}\]

5. Упростим числовые выражения и сократим некоторые члены:
\[\frac{-2091 - 246i + 3213i + 378i^2}{2601 - 36i^2}\]

6. Заметим, что \(i^2 = -1\), поэтому заменим \(i^2\) на -1:
\[\frac{-2091 - 246i + 3213i + 378(-1)}{2601 - 36(-1)}\]

7. Произведем вычисления:
\[\frac{-1713 + 2967i}{2637}\]

8. Разделим числитель и знаменатель на их наибольший общий делитель, чтобы упростить дробь:
\[\frac{-57 + 99i}{87}\]

Итак, мы получили итоговый ответ: \(z = \frac{-57 + 99i}{87}\).