Доказать, что две равные хорды, проведенные в окружности, находятся на равных расстояниях от центра

Skorostnaya_Babochka_5713

63

Хорда в окружности - это отрезок, соединяющий две точки на окружности. Нам нужно доказать, что две равные хорды, проведенные в окружности, находятся на равных расстояниях от центра.

Давайте рассмотрим окружность с центром в точке O и две равные хорды AB и CD, которые пересекаются в точке P. Для начала, обратим внимание на следующее:

1. Оба сегмента хорды AB и CD - AP и BP, CP и DP - являются радиусами окружности, так как радиус перпендикулярен хорде и проходит через середину хорды.

2. Длина хорды AB равна длине хорды CD, так как они считаются равными по условию задачи.

Теперь предположим, что расстояние от центра O до точки P не равно. Пусть расстояние от O до P равно d, где d - ненулевое значение.

Мы также знаем, что сегмент AP равен сегменту BP (они оба являются радиусами окружности) и сегмент CP равен сегменту DP.

Рассмотрим треугольники AOP и COP. Они оба имеют равные стороны (радиусы AP и CP) и общую сторону OP.

Из свойства треугольника, равные треугольники имеют равные углы. Поэтому угол AOP равен углу COP.

Так как угол AOP равен углу COP и стороны AO и CO являются общими, треугольники AOP и COP равны (по принципу равенства треугольников SSS).

Но это означает, что сторона OP также должна быть равной в обоих треугольниках, так как равные треугольники имеют равные стороны.

Таким образом, расстояние от центра O до точки P должно быть одинаковым для обоих хорд AB и CD. Доказано!

Мы доказали, что если две равные хорды AB и CD проведены в окружности, то они находятся на равных расстояниях от центра O. Это свойство можно использовать в различных задачах из геометрии и доказательствах.