Период обращения первого спутника отличается от периода обращения второго во сколько раз, если радиус орбиты первого

Ledyanoy_Drakon

64

Для решения данной задачи, мы должны вспомнить формулу, которая связывает период обращения спутника с радиусом его орбиты. Формула имеет следующий вид:

\[T = 2\pi\sqrt{\frac{r^3}{GM}}\]

Где:
\(T\) - период обращения спутника
\(r\) - радиус орбиты спутника
\(G\) - гравитационная постоянная
\(M\) - масса планеты, вокруг которой вращается спутник

Итак, у нас есть два спутника, первый и второй. Пусть радиус орбиты первого спутника будет \(r_1\), а радиус орбиты второго спутника будет \(r_2\). В условии сказано, что радиус орбиты первого спутника в два раза меньше радиуса орбиты второго. То есть:

\[r_1 = \frac{r_2}{2}\]

Теперь подставим это значение в формулу для периода обращения:

\[T_1 = 2\pi\sqrt{\frac{(\frac{r_2}{2})^3}{GM}}\]

Сократим числитель под корнем и упростим выражение:

\[T_1 = 2\pi\sqrt{\frac{r_2^3}{8GM}}\]

Аналогично, для второго спутника:

\[T_2 = 2\pi\sqrt{\frac{r_2^3}{GM}}\]

Теперь можно сравнить периоды обращения:

\[\frac{T_1}{T_2} = \frac{2\pi\sqrt{\frac{r_2^3}{8GM}}}{2\pi\sqrt{\frac{r_2^3}{GM}}}\]

Упростим выражение, сократив общие множители:

\[\frac{T_1}{T_2} = \sqrt{\frac{r_2^3}{8GM}} \cdot \frac{1}{\sqrt{\frac{r_2^3}{GM}}}\]

После сокращения, получаем:

\[\frac{T_1}{T_2} = \sqrt{\frac{r_2^3}{8GM}} \cdot \sqrt{\frac{GM}{r_2^3}}\]

Упростим дальше:

\[\frac{T_1}{T_2} = \sqrt{\frac{r_2^3}{8GM}} \cdot \sqrt{\frac{GM}{r_2^3}} = \sqrt{\frac{r_2^3 \cdot GM}{8GM \cdot r_2^3}}\]

Теперь можно сократить множители:

\[\frac{T_1}{T_2} = \sqrt{\frac{1}{8}} = \frac{1}{\sqrt{8}}\]

Таким образом, период обращения первого спутника отличается от периода обращения второго в \(\frac{1}{\sqrt{8}}\) раза.