Піднесіть многочлен до степеня 3x+2y^4 та розрахуйте його значення

Екатерина_719

31

Хорошо, давайте решим эту задачу пошагово.

Шаг 1: Поднесение многочлена до степени

Мы имеем многочлен \(3x+2y^4\) и нам нужно возвести его в степень.

Чтобы поднять многочлен до степени, мы будем использовать формулу бинома Ньютона. Формула бинома Ньютона позволяет раскрыть скобки и найти коэффициенты каждого члена степени.

Формула бинома Ньютона выглядит следующим образом:

\[(a+b)^n = C(n,0)a^n b^0 + C(n,1)a^{n-1}b^1 + C(n,2)a^{n-2}b^2 + ... + C(n,n-1)a^1b^{n-1} + C(n,n)a^0b^n\]

где \(C(n,k)\) обозначает биномиальный коэффициент "n по k" и вычисляется следующим образом:

\[C(n,k) = \frac{n!}{k!(n-k)!}\]

где "!" обозначает факториал числа.

Шаг 2: Вычисление биномиальных коэффициентов

Для подстановки в формулу бинома Ньютона, нам понадобятся биномиальные коэффициенты для каждого члена степени. Давайте вычислим их:

\[C(3,0) = \frac{3!}{0!(3-0)!} = \frac{3!}{0!3!} = \frac{1}{1} = 1\]
\[C(3,1) = \frac{3!}{1!(3-1)!} = \frac{3!}{1!2!} = \frac{3}{2} = 1.5\]
\[C(3,2) = \frac{3!}{2!(3-2)!} = \frac{3!}{2!1!} = \frac{3}{2} = 3\]
\[C(3,3) = \frac{3!}{3!(3-3)!} = \frac{3!}{3!0!} = \frac{1}{1} = 1\]

Шаг 3: Раскрытие скобок

Теперь, когда мы знаем биномиальные коэффициенты, мы можем раскрыть скобки и вычислить каждый член степени.

\((3x+2y^4)^3 = 1(3x)^3 + 1.5(3x)^2(2y^4) + 3(3x)(2y^4)^2 + 1(2y^4)^3\)

Шаг 4: Вычисление каждого члена степени

Теперь давайте вычислим каждый член степени:

\(1(3x)^3 = 1(27x^3) = 27x^3\)
\(1.5(3x)^2(2y^4) = 1.5(9x^2)(2y^4) = 27x^2y^4\)
\(3(3x)(2y^4)^2 = 3(9x)(4y^8) = 108xy^8\)
\(1(2y^4)^3 = 1(8y^12) = 8y^12\)

Шаг 5: Сложение каждого члена степени

Теперь сложим каждый член степени, чтобы получить окончательный результат:

\(27x^3 + 27x^2y^4 + 108xy^8 + 8y^12\)

Это и есть ответ на задачу. Многочлен, возведенный в степень \(3x+2y^4\), равен \(27x^3 + 27x^2y^4 + 108xy^8 + 8y^12\).

Я надеюсь, ответ был понятен для вас. Если у вас есть еще вопросы, пожалуйста, не стесняйтесь задавать их.