Please! 1. Удвоенный вес арбуза превышает вес дыни. Если дыня весит 4 кг и имеет форму шара, а удельный вес одинаков

Alisa

69

Пусть масса дыни будет равна 4 кг, а её форма - шар. Также предположим, что удельный вес дыни и арбуза одинаков. Удвоенный вес арбуза превышает вес дыни, поэтому мы можем записать это в виде уравнения:
\[2 \cdot m_1 = m_2,\]
где \(m_1\) - масса дыни, \(m_2\) - масса арбуза.

Так как удельный вес одинаков для обоих фруктов, то можно записать следующее:
\[\frac{m_2}{V_2} = \frac{m_1}{V_1},\]
где \(V_2\) и \(V_1\) - объемы арбуза и дыни соответственно.

У нас также есть информация о форме дыни — она представляет собой сферу. Формула для объема сферы:
\[V = \frac{4}{3} \pi r^3,\]
где \(V\) - объем сферы, \(r\) - радиус сферы.

Мы не знаем радиуса дыни, но поскольку диаметр ее сферы может быть произвольным, мы предположим, что ее радиус также является переменной и обозначим его через \(r_1\). Тогда ее объем \(V_1\) может быть записан как:
\[V_1 = \frac{4}{3} \pi r_1^3.\]

Теперь мы можем записать уравнение отношения массы к объему для арбуза и дыни:
\[\frac{m_2}{\frac{4}{3} \pi r_2^3} = \frac{m_1}{\frac{4}{3} \pi r_1^3}.\]

Учитывая, что удвоенный вес арбуза превышает вес дыни, у нас есть:
\[2m_1 = m_2.\]

Мы можем заменить \(m_2\) в уравнении отношения массы к объему и получить:
\[\frac{2m_1}{\frac{4}{3} \pi r_2^3} = \frac{m_1}{\frac{4}{3} \pi r_1^3}.\]

Теперь мы можем упростить это уравнение, умножив обе стороны на знаменатель слева и справа:
\[2m_1 \cdot \frac{4}{3} \pi r_1^3 = m_1 \cdot \frac{4}{3} \pi r_2^3.\]

Далее, упрощая выражение, получим:
\[8 \pi r_1^3 = \pi r_2^3.\]

Мы можем сократить обе стороны на \(\pi\) и получить:
\[8r_1^3 = r_2^3.\]

Теперь возведем обе части уравнения в куб и получим:
\[8^3r_1^9 = r_2^9.\]

Используя тот факт, что удвоенный вес арбуза превышает вес дыни, мы можем сказать, что масса арбуза в два раза больше массы дыни, то есть \(m_2 = 2m_1\). Подставляя это обратно в уравнение, получим:
\[8^3r_1^9 = (2m_1)^9.\]

Теперь мы можем сократить общие множители и получить:
\[8^3r_1^9 = 2^9m_1^9.\]

Раскрывая степень двойки, получим:
\[512r_1^9 = 2^9m_1^9.\]

Мы можем сократить обе части уравнения на \(2^9\) и получить:
\[r_1^9 = m_1^9.\]

Теперь возведем обе части уравнения в девятую степень и получим:
\[(r_1^9)^{\frac{1}{9}} = (m_1^9)^{\frac{1}{9}}.\]

Это дает нам:
\[r_1 = m_1.\]

Таким образом, мы видим, что радиус дыни равен ее массе. Заменяя \(r_1\) в уравнении для объема дыни, получим:
\[V_1 = \frac{4}{3} \pi (m_1)^3.\]

Мы знаем, что масса дыни равна 4 кг, поэтому можем записать:
\[V_1 = \frac{4}{3} \pi (4)^3.\]

Теперь мы можем вычислить объем дыни:
\[V_1 = \frac{4}{3} \pi 64.\]

Чтобы найти массу арбуза, умножим объем дыни на два:
\[m_2 = 2 \cdot V_1.\]

Подставляя значение \(V_1\), получим:
\[m_2 = 2 \cdot \frac{4}{3} \pi 64.\]

Вычисляя это, получим:
\[m_2 = \frac{8}{3} \pi 64.\]

Таким образом, масса арбуза составляет:
\[m_2 \approx 536.53 \, \text{кг}.\]