Какова площадь трапеции ABCD, если основания равны 4 см и 11 см, угол C равен 120∘, BC является меньшим основанием

Ангелина_9700

46

Чтобы решить данную задачу, нам понадобятся некоторые геометрические знания и формулы. Воспользуемся следующими шагами:

Шаг 1: Построение фигуры
Нарисуем трапецию ABCD с основаниями AB и CD. Угол C равен 120∘, а длина основания AB равна 4 см, а CD равна 11 см. Также построим биссектрисы углов C и D, которые пересекаются в точке M. У нас также дано, что DM равно 6 см.

Шаг 2: Поиск высоты трапеции
Обратим внимание, что AM является высотой трапеции, так как он перпендикулярен AB и CD. Мы можем рассмотреть треугольник AMD и применить теорему Пифагора, чтобы выразить AM через DM и AD.

\[AM^2 = AD^2 - DM^2\]

Поэтому,
\[AM^2 = AB^2 - BM^2 \quad \text{(так как AB=CD)}\]

Шаг 3: Вычисление BM
Рассмотрим треугольник BMC. У нас есть два угла: B равен 60∘, так как ABCD - трапеция, и C равен 120∘, так как это условие задачи. Сумма углов треугольника равна 180∘. Поэтому угол M равен:

\[M = 180 - 120 - 60 = 0\]

Так как BM является основанием треугольника, а его противолежащий угол равен 0∘, то BM должен быть равен нулю. Иными словами, точка М должна находиться на прямой BC.

Шаг 4: Нахождение AM
Теперь, когда у нас есть значение BM, мы можем вернуться к шагу 2 и выразить AM через DM и AD:

\[AM^2 = AB^2 - BM^2\]

\[AM^2 = AB^2 \quad \text{(так как BM=0)}\]

\[AM = AB\]

Шаг 5: Вычисление площади трапеции
Поскольку AM - это высота, а AB и CD - это основания, мы можем использовать формулу для площади трапеции:

\[S = \frac{{AB + CD}}{2} \cdot AM\]

Вставим значения:

\[S = \frac{{4 + 11}}{2} \cdot 4 = \frac{{15}}{2} \cdot 4 = 7.5 \cdot 4 = 30\]

Ответ: Площадь трапеции ABCD равна 30 квадратных сантиметров.