1. В пределах какого диапазона с вероятностью 95% находилось общее количество соискателей на работу, если кадровое

Цветочек

1

1. Для решения данной задачи нам понадобится использовать биномиальное распределение. Дано, что кадровое агентство трудоустроило 500 специалистов, а вероятность устройства каждого соискателя составляет 0,2. Мы хотим найти диапазон, в пределах которого с вероятностью 95% будет находиться общее количество соискателей, трудоустроенных кадровым агентством.

Для начала определим среднее значение и стандартное отклонение биномиального распределения. Среднее значение (математическое ожидание) равно произведению общего количества соискателей на вероятность успеха:
\[\mu = np = 500 \cdot 0,2 = 100\]
где \(n\) - общее количество испытаний (в данном случае количество трудоустроенных специалистов), а \(p\) - вероятность успеха (в данном случае вероятность трудоустройства).

Стандартное отклонение определяется по формуле:
\[\sigma = \sqrt{np(1-p)}\]
\[\sigma = \sqrt{500 \cdot 0,2 \cdot (1-0,2)} \approx 10\]

Так как мы хотим найти диапазон, к которому будут относиться 95% значений, нам необходимо использовать правило трёх сигм. Исходя из правила трёх сигм, 95% значений будет находиться в интервале \([ \mu - 2\sigma; \mu + 2\sigma ]\).

Подставим значения в формулу и решим:
\([ 100 - 2 \cdot 10; 100 + 2 \cdot 10 ]\)
\[ [ 80; 120 ]\]

Итак, с вероятностью 95%, общее количество соискателей на работу будет находиться в интервале от 80 до 120. Однако, если речь идет о целых числах, то в данном случае интерпретация задачи предполагает, что количество соискателей должно быть целым числом. Следовательно, округлим диапазон вверх и вниз до ближайших целых чисел, чтобы получить окончательный ответ. Таким образом, окончательный ответ: от 80 до 120.

2. В данной задаче мы должны найти количество деталей, производство которых можно гарантировать с вероятностью 95% за 25 рабочих часов. Время изготовления каждой детали распределено равномерно в диапазоне от 4 до 8 минут.

Сначала определим, сколько деталей в среднем можно произвести за 25 рабочих часов. Поскольку равномерное распределение является прямоугольным, то среднее значение можно вычислить как полусумму наибольшего и наименьшего значения:
\[\mu = \frac{{\text{наименьшее значение} + \text{наибольшее значение}}}{2} = \frac{{4 + 8}}{2} = 6\]

Затем мы можем найти стандартное отклонение, используя формулу для прямоугольного распределения:
\[\sigma = \frac{{\text{наибольшее значение} - \text{наименьшее значение}}}{\sqrt{12}} = \frac{{8 - 4}}{\sqrt{12}} \approx 1,15\]

Правило трёх сигм говорит нам, что 95% значений будут находиться в интервале \([ \mu - 2\sigma; \mu + 2\sigma ]\).

Подставим значения и решим:
\([ 6 - 2 \cdot 1,15; 6 + 2 \cdot 1,15 ]\)
\[ [ 3,7; 8,3 ]\]

Таким образом, с вероятностью 95%, можно гарантировать производство от 3,7 до 8,3 деталей за 25 рабочих часов. Опять же, если речь идет о целых числах, то округлим диапазон вверх и вниз до ближайших целых чисел:
от 4 до 8.

Итак, чтобы гарантировать производство с вероятностью 95%, необходимо производить от 4 до 8 деталей за 25 рабочих часов.