Почему результатом деления числа 1-2+3-4+5-6+...-2020+2021 на 3 является...? Объясните свое утверждение

Oleg

57

Для решения этой задачи, давайте сначала рассмотрим, как получается последовательность чисел 1-2+3-4+5-6+...-2020+2021.

Мы можем заметить, что в данной последовательности каждое число чередуется с положительным и отрицательным знаком (поочередно). При этом, положительные числа идут в возрастающем порядке, а отрицательные числа следуют в убывающем порядке.

Теперь мы разобьем данную последовательность на две отдельные последовательности.

Первая последовательность будет содержать все положительные числа от 1 до 2021 (включая 2021). Это арифметическая прогрессия, где первый элемент равен 1, разность между соседними элементами равна 1, и последний элемент равен 2021.

Рассчитаем сумму данной арифметической прогрессии по формуле для суммы прогрессии:
\[S_1 = \frac{n}{2} \cdot (a_1 + a_n)\]
где \(S_1\) - сумма прогрессии, \(n\) - количество элементов в прогрессии, \(a_1\) - первый элемент прогрессии, \(a_n\) - последний элемент прогрессии.

В данном случае, количество элементов в прогрессии равно 2021, первый элемент равен 1, а последний элемент равен 2021. Подставляя эти значения в формулу, получаем:
\[S_1 = \frac{2021}{2} \cdot (1 + 2021) = 2041411\].

Вторая последовательность будет содержать все отрицательные числа от -2 до -2020 (включая -2020). Она также является арифметической прогрессией с первым элементом -2 и последним элементом -2020.

Рассчитаем сумму этой арифметической прогрессии, используя ту же формулу:
\[S_2 = \frac{n}{2} \cdot (a_1 + a_n)\]
где \(S_2\) - сумма прогрессии, \(n\) - количество элементов в прогрессии, \(a_1\) - первый элемент прогрессии, \(a_n\) - последний элемент прогрессии.

В данном случае, количество элементов в прогрессии равно 2020, первый элемент равен -2, а последний элемент равен -2020. Подставляя эти значения в формулу, получаем:
\[S_2 = \frac{2020}{2} \cdot (-2 + (-2020)) = -2042420\].

Теперь, чтобы получить результат от деления суммы данной последовательности на 3, мы вычитаем сумму второй последовательности из суммы первой последовательности и делим полученное значение на 3.

\[ \frac{ S_1 - S_2}{3}\]
Подставляя значения сумм, получим:
\[ \frac{2041411 - (-2042420)}{3}\]

Выполняя вычисления, получаем округленный результат:
\[ \frac{4083831}{3} \approx 1361277\].

Таким образом, ответом на задачу является около 1361277.