Под каким углом к берегу следует направить моторную лодку, чтобы она переправилась через реку по наименьшему

Yaroslav_9697

22

Чтобы решить эту задачу, давайте представим, что река и лодка движутся вдоль оси координат, так что они движутся только горизонтально и вертикально. Пусть \(x\) будет расстоянием, которое должна пройти лодка вдоль реки, а \(y\) - расстоянием, которое она должна пройти поперек реки.

Мы можем использовать формулу \(v = \frac{d}{t}\), где \(v\) - скорость, \(d\) - расстояние и \(t\) - время. Расстояние и время для движения вдоль реки можно обозначить как \(x\), а для движения поперек реки как \(y\).

Так как скорость лодки вдоль реки составляет 8 м/с, то \(8 = \frac{x}{t}\), а скорость течения реки составляет 4 м/с, значит \(4 = \frac{y}{t}\).

Вспомним, что время движения для обоих расстояний одинаковое. Таким образом, можем выразить \(t\) через \(x\) или \(y\), где \(t = \frac{x}{8}\) или \(t = \frac{y}{4}\) соответственно.

Теперь мы можем объединить эти два уравнения. Подставим \(t = \frac{x}{8}\) во второе уравнение:
\[4 = \frac{y}{\frac{x}{8}} = \frac{8y}{x}\]

Умножим обе части уравнения на \(\frac{x}{8}\):
\[4 \cdot \frac{x}{8} = \frac{8y}{x} \cdot \frac{x}{8}\]
\[\frac{x}{2} = y\]

Теперь мы знаем, что \(y = \frac{x}{2}\). Мы можем использовать теорему Пифагора, чтобы найти расстояние \(d\) (гипотенузу треугольника), которое лодка должна пройти:
\[d = \sqrt{x^2 + y^2}\]
\[d = \sqrt{x^2 + \left(\frac{x}{2}\right)^2}\]
\[d = \sqrt{x^2 + \frac{x^2}{4}}\]
\[d = \sqrt{\frac{4x^2 + x^2}{4}}\]
\[d = \sqrt{\frac{5x^2}{4}}\]

Теперь нам нужно найти минимальное расстояние \(d\), для этого мы можем минимизировать функцию расстояния \(d\). Мы можем найти минимум этой функции, взяв ее производную по \(x\) и приравняв к нулю:

\[\frac{d}{dx}\left(\sqrt{\frac{5x^2}{4}}\right) = 0\]

Давайте продифференцируем это выражение:

\[\frac{1}{2}\left(\frac{5x^2}{4}\right)^{-\frac{1}{2}} \cdot \frac{d}{dx}\left(\frac{5x^2}{4}\right) = 0\]
\[\frac{1}{2}\left(\frac{5x^2}{4}\right)^{-\frac{1}{2}} \cdot \frac{10x}{4} = 0\]

Можем упростить выражение:

\[\frac{10x}{2\sqrt{5x^2}} = 0\]
\[\frac{5x}{\sqrt{5}x} = 0\]

Теперь заметим, что \(x \neq 0\), поэтому можем сократить \(x\):

\[\frac{5}{\sqrt{5}} = 0\]

Здесь мы достигли противоречия, так как нуль не равен пяти, поэтому производная не равна нулю. Это значит, что функция расстояния \(d\) не имеет экстремума, и чтобы получить минимальное расстояние, нам нужно выбрать \(x\) таким образом, чтобы оно было максимально маленьким. То есть, лодку нужно направить под углом \(x = 0^\circ\) к берегу, чтобы она переправилась через реку по наименьшему расстоянию.