Под каким углом к горизонту был брошен камень, если его траектория достигла верхней точки и его кинетическая энергия

Екатерина

35

Давайте рассмотрим данную задачу.

Мы знаем, что кинетическая энергия \(K\) и потенциальная энергия \(P\) связаны между собой следующим уравнением:

\[K = P\]

Кинетическая энергия \(K\) камня определяется его массой \(m\) и скоростью \(v\) по формуле:

\[K = \frac{mv^2}{2}\]

Потенциальная энергия \(P\) камня связана с его высотой \(h\) и ускорением свободного падения \(g\) по формуле:

\[P = mgh\]

Здесь \(g\) равно приближенно 9,8 м/с².

Так как кинетическая энергия равна потенциальной энергии, мы можем записать:

\[\frac{mv^2}{2} = mgh\]

Сокращаем массу \(m\) с обеих сторон уравнения:

\[\frac{v^2}{2} = gh\]

Теперь рассмотрим брошенный камень. На его максимальной высоте траектории его скорость равна нулю, так как камень достигает точки поворота.

Подставим \(v = 0\) в уравнение:

\[\frac{0^2}{2} = gh\]

Так как \(\frac{0^2}{2} = 0\), получаем:

\[0 = gh\]

Теперь, чтобы узнать угол камня с горизонтом, воспользуемся тригонометрическим соотношением для прямоугольного треугольника:

\[\sin(\theta) = \frac{h}{L}\]

Где \(L\) - горизонтальное расстояние, на которое был брошен камень.

Заметим, что в данной задаче нам дано, что кинетическая энергия равна потенциальной энергии, значит, высота \(h\) равна половине горизонтального расстояния \(L\), то есть \(h = \frac{L}{2}\).

Подставляем это значение в тригонометрическую формулу:

\[\sin(\theta) = \frac{\frac{L}{2}}{L}\]

Сокращаем \(L\) с обеих сторон:

\[\sin(\theta) = \frac{1}{2}\]

Чтобы найти угол \(\theta\), возьмем обратный синус от обеих сторон уравнения:

\[\theta = \sin^{-1}\left(\frac{1}{2}\right)\]

Вычислим значение обратного синуса с помощью калькулятора:

\[\theta \approx 30^\circ\]

Таким образом, камень был брошен под углом около 30 градусов к горизонту.