Под каким углом к горизонту был брошен маленький тяжелый шарик? Через сколько времени после броска его скорость

Lunnyy_Renegat

33

Давайте решим эту задачу. Пусть угол броска шарика к горизонту будет равен \( \alpha \).

1. Чтобы ответить на первую часть вопроса, найдем время, через которое скорость шарика станет равной \( 7.5 \, \text{м/с} \).
Поскольку ускорение свободного падения равно \( 10 \, \text{м/с}^2 \), можно использовать уравнение движения:

\[ v = u + at \]

где \( v \) - конечная скорость, \( u \) - начальная скорость, \( a \) - ускорение, \( t \) - время.

Из условия задачи \( v = 7.5 \, \text{м/с} \) и \( a = 10 \, \text{м/с}^2 \). Поскольку у нас нет информации о начальной скорости, обозначим ее как \( u \).
Таким образом, уравнение принимает вид:

\[ 7.5 = u + 10t \]

2. Чтобы найти угол \( \alpha \), на который вектор начальной скорости \( \vec{V_0} \) составляет с горизонтом, мы можем использовать тригонометрию.

У нас есть две компоненты начальной скорости: \( V_0 \cos(\alpha) \) в горизонтальном направлении (параллельном горизонту) и \( V_0 \sin(\alpha) \) в вертикальном направлении.

\( V_0 \cos(\alpha) \) представляет горизонтальную составляющую скорости, которая остается постоянной, так как в задаче нет горизонтального ускорения или силы. Поскольку \( V_0 \cos(\alpha) \) остается постоянным и равным \( u \), мы можем записать:

\[ V_0 \cos(\alpha) = u \]

Теперь, чтобы найти угол \( \alpha \), нам нужно найти \( \sin(\alpha) \), используя информацию о времени \( t \) из предыдущего шага и выражение для вертикальной составляющей начальной скорости:

\[ V_0 \sin(\alpha) = gt \]

где \( g \) - ускорение свободного падения.

3. Поскольку у нас есть два уравнения:

\[ 7.5 = u + 10t \]
\[ V_0 \sin(\alpha) = gt \]

Мы можем решить их систему уравнений для нахождения угла \( \alpha \). Давайте решим их:

Исходное уравнение:

\[ 7.5 = u + 10t \]

Используя уравнение \(V_0 \cos(\alpha) = u\) и подставляя его в исходное уравнение:

\[ 7.5 = V_0 \cos(\alpha) + 10t \]

Теперь, подставим выражение \( V_0 \sin(\alpha) = gt \):

\[ 7.5 = \frac{V_0 \cos(\alpha)}{\cos(\alpha)} + 10t \]

\[ 7.5 = V_0 + 10t \]

\[ V_0 = 7.5 - 10t \]

Теперь, используя выражение \( V_0 \sin(\alpha) = gt \):

\[ V_0 \sin(\alpha) = gt \]

\[ (7.5 - 10t) \sin(\alpha) = 10t \]

\[ 7.5\sin(\alpha) - 10t\sin(\alpha) = 10t \]

\[ \sin(\alpha) = \frac{10t}{7.5} \]

\[ \alpha = \arcsin\left(\frac{10t}{7.5}\right) \]

Теперь подставим значение времени \( t \). Оно зависит от начальной скорости \( u \):

\[ t = \frac{7.5 - u}{10} \]

Подставляем \( t \) в выражение для \( \alpha \):

\[ \alpha = \arcsin\left(\frac{10\left(\frac{7.5 - u}{10}\right)}{7.5}\right) \]

Теперь, используя это выражение, мы можем рассчитать угол \( \alpha \) и вторую часть задачи.