Под каким углом относительно поверхности стола шайба ударится о стол, если она соскальзывает без передвижения

Ярус_9782

26

Чтобы решить данную задачу, нам необходимо разобраться с физическими законами, связанными с движением тела под действием силы тяжести.

В данной ситуации шайба соскальзывает с верхней точки закрепленного шара. На шайбу действуют две силы: сила тяжести, направленная вниз, и сила реакции опоры, направленная перпендикулярно поверхности стола.

На этапе соскальзывания шайбы без передвижения и трения, горизонтальная компонента силы реакции опоры равна силе трения — нулю. Следовательно, горизонтальная сила, действующая на шайбу, также равна нулю.

Значит, все движение происходит только под действием силы тяжести, которая направлена вертикально вниз. Таким образом, мы можем сказать, что шайба будет двигаться по параболической траектории под воздействием силы тяжести.

Теперь рассмотрим верхнюю точку траектории движения шайбы. В данной точке вертикальная скорость будет равна нулю, так как шайба достигает максимальной высоты и начинает падать. Однако, горизонтальная скорость остается постоянной на всей траектории.

Для определения угла относительно поверхности стола, под которым шайба ударится о стол, мы можем воспользоваться законом сохранения механической энергии. Наиболее удобным будет выбрать начало координат в верхней точке траектории шайбы.

Механическая энергия состоит из кинетической (из-за горизонтальной скорости) и потенциальной (из-за вертикальной высоты) энергии. По закону сохранения механической энергии, сумма потенциальной и кинетической энергий в любой точке траектории будет равна их сумме в начальной точке траектории (верхней точке).

Вертикальная потенциальная энергия в начальной точке траектории равна массе шайбы умноженной на ускорение свободного падения \(g\) и на вертикальную высоту \(h\): \(E_{\text{пот}} = mgh\).

Горизонтальная кинетическая энергия в начальной точке траектории равна половине массы шайбы умноженной на горизонтальную скорость \(v\): \(E_{\text{кин}} = \frac{1}{2}mv^2\).

В конечной точке, когда шайба ударится о стол, вертикальная потенциальная энергия будет равна нулю, так как высота равна нулю. Тогда горизонтальная скорость в конечной точке будет равна горизонтальной скорости в начальной точке: \(v\).

Следовательно, у нас получается уравнение энергии: \(E_{\text{пот}} + E_{\text{кин}} = E_{\text{пот}}_{\text{кон}} + E_{\text{кин}}_{\text{кон}}\).

Подставляя значения в уравнение, получаем:

\(mgh + \frac{1}{2}mv^2 = 0 + \frac{1}{2}mv^2\).

Здесь \(m\) - масса шайбы, \(g\) - ускорение свободного падения, \(h\) - вертикальная высота, \(v\) - горизонтальная скорость.

Когда мы выводим наши начальные условия для шайбы (помните, что должны быть "соскальзывания без передвижения и без трения"), можно увидеть, что вертикальная высота равна радиусу шара. Подставляя это значение, получаем \(mgh = \frac{1}{2}mv^2\).

Массы шайбы сокращаются, и мы получаем \(gh = \frac{1}{2}v^2\). Здесь важно отметить, что \(h\) и \(v\) являются компонентами векторов скорости и ускорения в вертикальном и горизонтальном направлениях соответственно.

Мы можем выразить угол \(\alpha\) относительно поверхности стола следующим образом: \(h = L \cdot \sin(\alpha)\) и \(v = L \cdot \cos(\alpha)\), где \(L\) - длина траектории движения шайбы.

Подставляя значения компонентов в уравнение \(gh = \frac{1}{2}v^2\), получаем:

\(L \cdot \sin(\alpha) = \frac{1}{2}L^2 \cdot \cos^2(\alpha)\).

Делим обе части уравнения на \(L\) и упрощаем:

\(\sin(\alpha) = \frac{1}{2}L \cdot \cos^2(\alpha)\).

Воспользуемся тригонометрическим тождеством \(\cos^2(\alpha) = 1 - \sin^2(\alpha)\):

\(\sin(\alpha) = \frac{1}{2}L \cdot (1 - \sin^2(\alpha))\).

Раскрываем скобки:

\(\sin(\alpha) = \frac{1}{2}L - \frac{1}{2}L \cdot \sin^2(\alpha)\).

Переносим все члены в левую часть уравнения:

\(\sin^2(\alpha) + 2\sin(\alpha) - L = 0\).

Окончательно, мы получаем квадратное уравнение относительно \(\sin(\alpha)\), которое можно решить с помощью дискриминанта или графика. Решая уравнение, мы получим два значения \(\alpha\), из которых выберем тот, который соответствует физическому смыслу задачи.

Таким образом, мы можем определить угол \(\alpha\), под которым шайба ударится о стол, используя физические законы и закон сохранения механической энергии. При выполнении задачи в деталях, не забывайте учитывать начальные условия и предположения, чтобы получить точный ответ.