Подробно определите координаты точки максимума функции y=8-24x+2x^3/2

Пингвин

19

Хорошо! Для начала, давайте разберемся, что такое точка максимума функции. Точка максимума функции - это точка на графике функции, где функция достигает самого большого значения в заданном диапазоне.

Для нашей задачи, у нас дана функция \(y = 8 - 24x + 2x^{\frac{3}{2}}\). Наша задача - найти координаты точки максимума этой функции.

Для начала, нам понадобится найти производную функции и приравнять ее к нулю. Производной функции называется функция, которая показывает наклон касательной линии к графику функции в каждой точке.

Будем искать производную функции \(y = 8 - 24x + 2x^{\frac{3}{2}}\). Чтобы найти производную, нам понадобятся правила дифференцирования для степеней и суммы функций.

1. Для первого члена \(8\), производная равна нулю, так как это постоянная.

2. Для второго члена \(-24x\), производная равна \(-24\), так как производная от переменной \(x\) равна 1, а умножение на константу не влияет на производную.

3. Для третьего члена \(2x^{\frac{3}{2}}\), мы можем использовать правило дифференцирования для степеней и получим производную \(3x^{\frac{3}{2}-1} = 3\sqrt{x}\).

Теперь, найденную производную функции равняем к нулю и решим уравнение:

\[0 = -24 + 3\sqrt{x}\]

Добавим 24 к обеим сторонам уравнения, чтобы избавиться от отрицательного значения:

\[24 = 3\sqrt{x}\]

Делим обе части уравнения на 3:

\[8 = \sqrt{x}\]

Возводим обе части уравнения в квадрат, чтобы избавиться от корня:

\[64 = x\]

Таким образом, мы нашли значение \(x = 64\).

Теперь, чтобы найти значение \(y\) в точке максимума, подставим найденное значение \(x\) в исходную функцию:

\[y = 8 - 24x + 2x^{\frac{3}{2}}\]
\[y = 8 - 24 \cdot 64 + 2 \cdot 64^{\frac{3}{2}}\]

Теперь вычислим это выражение.