Подтвердить равенство е2=е1-2(е1, n)n при отражении светового луча от плоского зеркала, где е1 и е2 - единичные векторы

Магическая_Бабочка_4758

60

Чтобы подтвердить данное равенство, нам необходимо использовать законы отражения света. По закону отражения, угол падения светового луча равен углу отражения от плоского зеркала, а нормаль к зеркалу является перпендикуляром к его плоскости.

Пусть е1 - единичный вектор вдоль входящего луча, е2 - единичный вектор вдоль отражённого луча, а n - нормаль к плоскости зеркала.

Угол падения, обозначим его как α, равен углу между вектором е1 и нормалью к плоскости зеркала n. То есть:
\[\cos(\alpha) = \vec{e_1} \cdot \vec{n}\]

Согласно закону отражения, угол отражения, обозначим его как β, также равен углу между вектором е2 и нормалью к плоскости зеркала n. То есть:
\[\cos(\beta) = \vec{e_2} \cdot \vec{n}\]

Так как нормаль к плоскости зеркала перпендикулярна к е1 и е2, то нормаль ни с е1, ни с е2 не образует угол их произведения с ней же равен 0. То есть:
\[\vec{n} \cdot \vec{e_1} = \vec{n} \cdot \vec{e_2} = 0\]

Теперь нам необходимо выразить вектор е2 через известные величины.

Пусть \(\vec{r}\) - вектор, проведённый от точки падения светового луча до точки отражения. Тогда вектор е2 можно выразить следующим образом:
\[\vec{e_2} = \vec{e_1} - 2(\vec{e_1} \cdot \vec{n})\vec{n}\]

Раскроем скобки и применим выраженные ранее равенства:
\[\vec{e_2} = \vec{e_1} - 2(\vec{e_1} \cdot \vec{n})\vec{n} = \vec{e_1} - 2(\cos(\alpha))\vec{n}\]

Таким образом, мы получили искомое выражение для вектора е2 через вектор е1, нормаль к плоскости зеркала n и угол падения α:
\[\vec{e_2} = \vec{e_1} - 2(\cos(\alpha))\vec{n}\]

Таким образом, мы подтвердили равенство е2 = е1 - 2(е1, n)n при отражении светового луча от плоского зеркала. Это равенство объясняет изменение направления луча после отражения и является основой для понимания оптических явлений, связанных с зеркалами.