Подтвердите, что если биссектрисы углов AOB и BOC пересекаются под прямым углом, то AC равно

Родион

22

Для начала, давайте вспомним, что такое биссектрисы углов. Биссектриса угла делит его на два равных угла.

Теперь рассмотрим заданную ситуацию. У нас есть треугольник ABC с углом AOB и углом BOC. Пусть точка пересечения биссектрис этих углов обозначается как точка D.

Для доказательства того, что AC равно, нам необходимо воспользоваться свойствами биссектрис.

Поскольку BD является биссектрисой угла BOC, то угол BDC будет равен углу OCD. Аналогично, угол BDA будет равен углу ODA.

Теперь обратимся к условию задачи — биссектрисы пересекаются под прямым углом. Это означает, что угол BDA и угол BDC являются прямыми углами, то есть они равны 90 градусам.

Поскольку сумма углов треугольника равна 180 градусам, углы ODA и OCD вместе равны 180 - 90 = 90 градусов.

Теперь обратимся к треугольнику ACD. У него есть два прямых угла — углы OCD и ODA. Из доказанного ранее мы знаем, что эти углы равны друг другу, значит, углы ACD и ADC равны 90 градусам.

Таким образом, мы получаем, что треугольник ACD является прямоугольным. По свойствам прямоугольного треугольника, гипотенуза (в нашем случае сторона AC) равна сумме катетов (сторон AD и CD).

Так как сторона AD и сторона CD совпадают (они образованы одной и той же биссектрисой), то мы можем записать: AC = AD + CD = CD + CD = 2CD.

Теперь нам нужно доказать, что AD и CD равны. Обратимся к треугольнику AOB. Будучи биссектрисой угла AOB, отрезок AD делит этот угол пополам, то есть угол BAD равен углу ADO.

Аналогично, в треугольнике BOC, отрезок CD также является биссектрисой угла BOC, поэтому угол CBD равен углу CDO.

Из равенства углов BAD и ADO, а также CBД и CDO, мы получаем равные треугольники ADO и CDO. Следовательно, их стороны AD и CD равны друг другу.

Таким образом, мы доказали, что AD = CD, а следовательно, AC = 2CD, что и требовалось доказать.