Подтвердите, что фигура ABCD является параллелограммом и определите его центр симметрии, если A(-2; -4; 1), B(-5
Подтвердите, что фигура ABCD является параллелограммом и определите его центр симметрии, если A(-2; -4; 1), B(-5; -6; -1), C(4; 10; 3); D(7; 12; 5) требуется.
Pugayuschiy_Pirat 52
Чтобы подтвердить, что фигура ABCD является параллелограммом и определить его центр симметрии, мы должны проверить два условия: стороны должны быть параллельными и равными, а диагонали должны пересекаться в их середине.Давайте начнем с проверки сторон. Для этого мы можем рассчитать векторы \(\overrightarrow{AB}\), \(\overrightarrow{BC}\), \(\overrightarrow{CD}\) и \(\overrightarrow{DA}\), а затем сравнить их.
\(\overrightarrow{AB} = B - A = (-5; -6; -1) - (-2; -4; 1) = (-3; -2; -2)\)
\(\overrightarrow{BC} = C - B = (4; 10; 3) - (-5; -6; -1) = (9; 16; 4)\)
\(\overrightarrow{CD} = D - C = (7; 12; 5) - (4; 10; 3) = (3; 2; 2)\)
\(\overrightarrow{DA} = A - D = (-2; -4; 1) - (7; 12; 5) = (-9; -16; -4)\)
Теперь давайте сравним эти векторы. Если \(\overrightarrow{AB} = \overrightarrow{CD}\) и \(\overrightarrow{BC} = \overrightarrow{DA}\), то стороны параллельны и равны.
\((-3; -2; -2) \neq (3; 2; 2)\), поэтому \(\overrightarrow{AB} \neq \overrightarrow{CD}\).
\( (9; 16; 4) \neq (-9; -16; -4) \) , поэтому \(\overrightarrow{BC} \neq \overrightarrow{DA}\).
Так как стороны не равны и не параллельны, мы можем заключить, что фигура ABCD не является параллелограммом.
Чтобы определить центр симметрии, мы можем найти половину вектора, соединяющего диагонали фигуры ABCD. Давайте найдем этот вектор и разделим его пополам.
\(\overrightarrow{AC} = C - A = (4; 10; 3) - (-2; -4; 1) = (6; 14; 2)\)
\(\overrightarrow{BD} = D - B = (7; 12; 5) - (-5; -6; -1) = (12; 18; 6)\)
\(\overrightarrow{AC} + \overrightarrow{BD} = (6; 14; 2) + (12; 18; 6) = (18; 32; 8)\)
Теперь найдем половину этого вектора:
\(\frac{1}{2} \overrightarrow{AC + BD} = \frac{1}{2} (18; 32; 8) = (9; 16; 4)\)
Таким образом, центр симметрии фигуры ABCD находится в точке (9; 16; 4).