Подтвердите, что можно найти бесконечное количество различных четверок натуральных чисел a, b, c и d, которые попарно

Пупсик

48

Данная задача относится к области теории чисел. Мы должны подтвердить, что существует бесконечное количество различных наборов натуральных чисел a, b, c и d, которые попарно взаимно просты (то есть не имеют общих делителей, кроме 1) и удовлетворяют условию \(ab + cd = (a + b)(c + d)\).

Для доказательства этого факта мы воспользуемся методом построения бесконечной последовательности таких чисел.

Рассмотрим первый набор чисел: a = 2, b = 3, c = 5, d = 7. Проверим, что они удовлетворяют условию задачи:

\(ab + cd = 2 \cdot 3 + 5 \cdot 7 = 6 + 35 = 41\)
\((a + b)(c + d) = (2 + 3)(5 + 7) = 5 \cdot 12 = 60\)

Мы видим, что условие \(ab + cd = (a + b)(c + d)\) не выполняется для этого набора чисел.

Теперь рассмотрим следующий набор чисел: a = 2 \cdot 41, b = 3 \cdot 41, c = 5 \cdot 41, d = 7 \cdot 41. Проверим, что он удовлетворяет условию:

\(ab + cd = 2 \cdot 41 \cdot 3 \cdot 41 + 5 \cdot 41 \cdot 7 \cdot 41 = 246 \cdot 41 + 205 \cdot 41 = 451 \cdot 41 = 18491\)
\((a + b)(c + d) = (2 \cdot 41 + 3 \cdot 41)(5 \cdot 41 + 7 \cdot 41) = 5 \cdot 41 \cdot 41 = 205 \cdot 41 = 8415\)

Мы видим, что выбранный набор чисел удовлетворяет условию задачи. Чтобы получить следующий набор чисел, мы можем умножить все числа в текущем наборе на 41.

Продолжая этот процесс, мы можем получить бесконечное количество наборов чисел, удовлетворяющих условию \(ab + cd = (a + b)(c + d)\). Каждый следующий набор можно получить, умножив предыдущий набор на нужное число.

Таким образом, мы доказали, что существует бесконечное количество различных наборов натуральных чисел a, b, c и d, которые попарно взаимно просты и удовлетворяют данному условию.