Какое максимальное значение можно получить для интегральной суммы функции у=х^2 на отрезке [0;1] при использовании

Елисей

28

Для начала, давайте разберемся, что такое интегральная сумма и как она связана с заданной функцией. Интегральная сумма - это приближенное значение интеграла функции на определенном отрезке, полученное путем разбиения этого отрезка на подотрезки и вычисления суммы площадей прямоугольников, ограничивающихся графиком функции на каждом подотрезке.

Итак, у нас есть функция \(y = x^2\) и нам нужно вычислить интегральную сумму на отрезке \([0, 1]\) при использовании четырех равных отрезков для разбиения. Давайте разобьем этот отрезок на 4 равных подотрезка.

Для этого нам понадобится определить ширину каждого подотрезка. В данном случае, так как у нас 4 подотрезка, мы можем разделить общую ширину отрезка \([0, 1]\) на 4 части. Поэтому ширина каждого подотрезка будет равна \(h = \frac{1}{4}\).

Теперь мы можем вычислить значение функции \(y = x^2\) на каждом подотрезке. Для этого нам нужно взять произвольные точки \(x_i\) на каждом подотрезке (например, левую границу каждого подотрезка) и вычислить соответствующие значения \(y_i = (x_i)^2\).

Давайте вычислим значения \(y_i\) для каждого подотрезка:
\[
\begin{align*}
&\text{Подотрезок 1:} \quad x_1 = 0, \quad y_1 = (0)^2 = 0 \\
&\text{Подотрезок 2:} \quad x_2 = \frac{1}{4}, \quad y_2 = \left(\frac{1}{4}\right)^2 = \frac{1}{16} \\
&\text{Подотрезок 3:} \quad x_3 = \frac{1}{2}, \quad y_3 = \left(\frac{1}{2}\right)^2 = \frac{1}{4} \\
&\text{Подотрезок 4:} \quad x_4 = \frac{3}{4}, \quad y_4 = \left(\frac{3}{4}\right)^2 = \frac{9}{16} \\
\end{align*}
\]

Теперь мы можем вычислить площадь каждого прямоугольника, ограниченного графиком функции на каждом подотрезке. Площадь прямоугольника можно найти, умножив его ширину на соответствующую высоту, то есть \(S_i = h \cdot y_i\).

Давайте вычислим площади прямоугольников для каждого подотрезка:
\[
\begin{align*}
&\text{Подотрезок 1:} \quad S_1 = \frac{1}{4} \cdot 0 = 0 \\
&\text{Подотрезок 2:} \quad S_2 = \frac{1}{4} \cdot \frac{1}{16} = \frac{1}{64} \\
&\text{Подотрезок 3:} \quad S_3 = \frac{1}{4} \cdot \frac{1}{4} = \frac{1}{16} \\
&\text{Подотрезок 4:} \quad S_4 = \frac{1}{4} \cdot \frac{9}{16} = \frac{9}{64} \\
\end{align*}
\]

Теперь мы можем вычислить интегральную сумму, сложив все площади прямоугольников:
\[
\text{Интегральная сумма} = S_1 + S_2 + S_3 + S_4 = 0 + \frac{1}{64} + \frac{1}{16} + \frac{9}{64} = \frac{25}{64}
\]

Таким образом, максимальное значение интегральной суммы для функции \(y = x^2\) на отрезке \([0, 1]\) при использовании четырех равных отрезков для разбиения равно \(\frac{25}{64}\).