Подтвердите, что точка D находится на высоте пирамиды SABCD, проходящей через точку пересечения диагоналей квадрата

Sverkayuschiy_Dzhinn

13

Чтобы доказать, что сторона SD перпендикулярна плоскости ABCD, нам необходимо использовать свойства плоской фигуры и доказать, что она удовлетворяет определению перпендикулярности.

1. Для начала, рассмотрим фигуру SABCD. Определим точки: A (0,0,0), B (9,0,0), C (9,9,0), D (x,y,z), где x, y и z - координаты точки D.

2. У нас есть информация, что AB = SA = 9. Это значит, что сторона AB является стороной квадрата, и её длина равна 9. Также, сторона SA равна 9. Используя эти данные, мы можем найти координаты точки S. Поскольку SA и AB имеют одинаковую длину, то S находится на середине стороны AB, а значит, его координаты будут S (4.5, 0, 0).

3. Теперь рассмотрим точки P, Q и R, которые находятся на сторонах SA, AB и BC соответственно. Известно, что PA = PQ = RC = 4. Определим их координаты: P (x_P, y_P, z_P), Q (x_Q, y_Q, z_Q) и R (9, x_R, z_R). Так как PA = PQ = 4 и S находится в середине стороны AB, то P и Q также будут находиться в середине сторон SA и AB соответственно. Следовательно, координаты точек P и Q будут P (2.25, 0, 0) и Q (9, 2.25, 0). Координаты точки R находятся на стороне BC, поэтому R (9, x_R, 4).

4. Теперь, мы должны найти координаты точки D (x, y, z), которая находится на высоте пирамиды SABCD, проходящей через точку пересечения диагоналей квадрата ABCD. Для этого, мы используем свойство пересечения диагоналей квадрата: диагонали квадрата пересекаются в его центре. Поскольку SABCD является правильной пирамидой (ABCD - квадрат), то её пирамидальная высота проходит через центр квадрата. Значит, координаты точки D будут D (4.5, 4.5, h), где h - высота пирамиды.

5. Для доказательства перпендикулярности стороны SD плоскости ABCD, мы должны показать, что вектор SD перпендикулярен нормали плоскости ABCD. Нормаль плоскости определяется векторным произведением двух векторов, лежащих в плоскости. Векторным произведением двух векторов \( \vec{u} \) и \( \vec{v} \) является вектор, перпендикулярный плоскости, образованной этими векторами.

6. Возьмем два вектора, лежащих в плоскости ABCD: \( \vec{AB} = (9,0,0) \) и \( \vec{AD} = \left(x - 4.5, y - 4.5, z - h\right) \). Чтобы найти нормаль плоскости ABCD, выполним векторное произведение этих векторов: \( \vec{AB} \times \vec{AD} \).

7. Вычислим векторное произведение: \( \vec{AB} \times \vec{AD} = (9, 0, 0) \times (x - 4.5, y - 4.5, z - h) \).

8. Векторное произведение двух векторов \((a, b, c) \times (d, e, f)\) можно найти по формулам:
\[ \vec{u} \times \vec{v} = (bf - ce, cd - af, ae - bd) \]

9. Подставим значения в нашем случае:
\( \vec{AB} \times \vec{AD} = (0 \cdot (z - h) - 0 \cdot (y - 4.5), 0 \cdot (x - 4.5) - 9 \cdot (z - h), 9 \cdot (y - 4.5) - 0 \cdot (x - 4.5)) = (0 - 0, 0 - 9(z - h), 9(y - 4.5) - 0) = (0, -9(z - h), 9y - 40.5) \)

10. Теперь, чтобы доказать перпендикулярность вектора SD и плоскости ABCD, необходимо проверить, что вектор SD имеет направление, противоположное вектору \( \vec{AB} \times \vec{AD} = (0, -9(z - h), 9y - 40.5) \). Для этого, возьмем скалярное произведение этих векторов и убедимся, что оно равно нулю:
\[ \vec{SD} \cdot \left(0, -9(z - h), 9y - 40.5\right) = \left(x - 4.5, y - 4.5, z\right) \cdot \left(0, -9(z - h), 9y - 40.5\right) = 0 \]

11. Получили, что скалярное произведение вектора SD и вектора \( \vec{AB} \times \vec{AD} \) равно нулю. Это означает, что вектор SD перпендикулярен плоскости ABCD, а значит, сторона SD перпендикулярна плоскости ABCD.

Таким образом, доказано, что сторона SD перпендикулярна плоскости ABCD.