Подтвердите, что треугольник ABC является равнобедренным, если высоты AM и СK пересекаются в точке H, и НК равна

Жанна_7206

18

Дано: треугольник \(ABC\) с высотами \(AM\) и \(CK\), пересекающимися в точке \(H\), причем \(NK = CH\).

Чтобы доказать, что треугольник \(ABC\) является равнобедренным, нужно показать, что он имеет две одинаковые стороны. Для этого рассмотрим два треугольника: \(AHK\) и \(CHM\).

Треугольники \(AHK\) и \(CHM\) являются подобными, так как угол \(A\) и угол \(C\) являются прямыми углами (из свойства высот), и угол \(AHK\) равен углу \(MCH\) как вертикальные углы.

Таким образом, отношение сторон треугольников равно отношению высот треугольников:
\[\frac{AH}{CH} = \frac{AK}{CM} = \frac{HK}{HM}\]

Учитывая, что \(NK = CH\), то \(HK = HM\), так как у них общая сторона \(HM\), а стороны \(HK\) и \(HM\) равны (по равенству высот).

Следовательно, треугольник \(ABC\) является равнобедренным с основаниями \(AC\) и \(BC\), так как они имеют равные стороны \(HK\) и \(HM\) в силу равенства высот.