Якій відстані від точки М до лінії перетину цих площин дорівнює, якщо точка М знаходиться на однаковій відстані

Podsolnuh

14

Для розв"язання цієї задачі, спочатку давайте зобразимо ситуацію за допомогою схеми. Нехай площини позначені як $P_1$ і $P_2$, а точка $M$ знаходиться на однаковій відстані 4 см від кожної з площин.

Схема:
$$\begin{array}{|c|}\hline P_1\\ P_2\\ \hline\end{array}$$

Так як площини перетинаються під кутом 60 градусів, лінія перетину буде прямою і пройде через точку $M$. Позначимо цю лінію як $L$.

Тепер ми повинні знайти відстань від точки $M$ до лінії $L$. Ця відстань може бути знайдена як відстань від точки до лінії, перпендикулярної до лінії. Отже, ми повинні знайти перпендикуляр $MH$ від точки $M$ до лінії $L$.

Розглянемо трикутник $MHN$, де $H$ - точка перетину перпендикуляра $MH$ з площиною $P_2$, а $N$ - точка перетину перпендикуляра $MH$ з площиною $P_1$. За умовою задачі, $MH=MN=4$ см.

Схема:
$$\begin{array}{|c|}\hline P_1\\ M\\ H\\ N\\ P_2\\ L\\ \hline\end{array}$$

Трикутник $MHN$ є рівнобедреним трикутником, оскільки $MH=MN$, тому ми можемо його розглядати як рівнобедрений трикутник $MHN$. Так як $MH=MN=4$ см, то кут $MHN$ також дорівнює 60 градусів.

Тепер ми можемо використовувати тригонометрію для знаходження відстані $HN$ або $MH$. Приймемо $HN$ як шукану величину.

Для знаходження $HN$ можна використовувати формулу косинусів. Запишемо цю формулу для трикутника $MHN$:

$$H{N}^2=M{N}^2+M{H}^2-2\cdot MN\cdot MH\cdot \cos (\mathrm{\angle }MHN)$$

Підставимо відомі значення:

$$H{N}^2=4^2+4^2-2\cdot 4\cdot 4\cdot \cos ({60}^{\circ })$$

Розраховуємо величину:

$$H{N}^2=16+16-32\cdot \frac{1}{2}$$

$$H{N}^2=32-16$$

$$H{N}^2=16$$

$$HN=\sqrt{16}$$

$$HN=4$$

Отже, відстань від точки $M$ до лінії перетину площин дорівнює 4 см.

Важливо відзначити, що наш розв"язок ґрунтується на припущенні, що площини $P_1$ і $P_2$ перетинаються в точці $H$ і пункт $H$ лежить на лінії перетину $L$. Якщо відстань від точки $M$ до лінії перетину площин буде різною від 4 см, це означатиме, що наше припущення було неправильним. Однак, за вказаними умовами задачі, відстань дорівнює 4 см.