Point K is the intersection of the extensions of the lateral sides AB and CD of trapezoid ABCD. Find the area

Oleg

34

Для решения данной задачи найдем высоту трапеции и затем рассчитаем её площадь.

Шаг 1: Найдем высоту трапеции.
Пусть высота трапеции равна h. Так как треугольник BCK является прямоугольным, высота треугольника BCK также равна h.
При этом основание треугольника BCK - это сторона BC трапеции.

Шаг 2: Рассчитаем высоту треугольника BCK с использованием подобия треугольников.
Так как треугольник BCK и треугольник ADB подобны, можно записать следующее соотношение длин:

\(\frac{h}{BC} = \frac{h+x}{AD}\),

где x - расстояние от точки K до BD.

Отсюда по условию задачи мы знаем, что \(BC:AD=3:5\), поэтому:

\(\frac{h}{3} = \frac{h+x}{5}\).

Решим данное уравнение.

Прибавим к обеим сторонам уравнения \(7h\):

\(5h = 3h + 7x\).

Таким образом, \(2h = 7x\), или \(x = \frac{2h}{7}\).

Шаг 3: Рассчитаем площадь треугольника BCK.
Площадь треугольника можно найти по формуле:

\(S_{\text{треугольник}} = \frac{1}{2} \cdot \text{основание} \cdot \text{высота}\).

В данном случае основание треугольника BCK - это сторона BC, а высота треугольника - это высота трапеции h.

Тогда \(S_{\text{треугольник}} = \frac{1}{2} \cdot BC \cdot h\).

Шаг 4: Рассчитаем площадь трапеции ABCD.
Площадь трапеции можно найти по формуле:

\(S_{\text{трапеция}} = \frac{1}{2} \cdot (\text{сумма оснований}) \cdot \text{высота}\).

В данном случае основания трапеции - это стороны BC и AD, а высота трапеции - это высота h.

Тогда \(S_{\text{трапеция}} = \frac{1}{2} \cdot (BC + AD) \cdot h\).

Шаг 5: Найдем площадь треугольника BCK с использованием найденных значений.

Так как площадь треугольника BCK равна площади треугольника ADB, мы можем записать:

\(S_{\text{треугольник BCK}} = \frac{1}{2} \cdot AD \cdot \left(\frac{h}{3}\right) = \frac{1}{2} \cdot AD \cdot \frac{h}{3}\) .

Также мы знаем, что \(x = \frac{2h}{7}\), поэтому площадь треугольника BCK можно записать в виде:

\(S_{\text{треугольник BCK}} = \frac{1}{2} \cdot BC \cdot \left(\frac{2h}{7}\right) = \frac{BC \cdot h}{7}\).

Шаг 6: Рассчитаем площадь трапеции ABCD с использованием найденных значений.

Подставим значения площади треугольника BCK в формулу площади трапеции:

\(S_{\text{трапеция}} = \frac{1}{2} \cdot (BC + AD) \cdot h\).

Так как \(BC:AD=3:5\), подставим это значение:

\(S_{\text{трапеция}} = \frac{1}{2} \cdot \left(BC + \frac{3}{5} BC\right) \cdot h\).

Общее уравнение:

\(S_{\text{трапеция}} = \frac{1}{2} \cdot \left(\frac{8}{5} BC\right) \cdot h\).

Шаг 7: Проверим наличие ошибок и упростим выражение, если это возможно.

Упростим уравнение:

\(S_{\text{трапеция}} = \frac{4}{5} BC \cdot h\).

Теперь мы можем найти площадь трапеции ABCD, если мы знаем значения BC и h. Однако, в условии задачи не даны конкретные значения для BC и AD, поэтому мы не можем точно рассчитать площадь трапеции ABCD.