Поиск дифференциала функции A) у=sinx/2x+16 B) y=cosx/5x+9 C) y=x^5+8/sinx D) y=5x^3+2/e^x E) y=e^x+6/x^3

Волк

20

A) Для нахождения дифференциала функции \(y = \frac{\sin{x}}{2x} + 16\) воспользуемся правилом дифференцирования для суммы и произведения функций.

Сначала найдем производную первого слагаемого \(\frac{\sin{x}}{2x}\):

\(\frac{d}{dx}(\sin{x}) = \cos{x}\) - производная синуса по правилу дифференцирования элементарной функции.

Теперь применим правило дифференцирования для частного:

\(\frac{d}{dx}\left(\frac{\sin{x}}{2x}\right) = \frac{(2x)\cos{x} - \sin{x}\cdot2}{(2x)^2} = \frac{2x\cos{x} - 2\sin{x}}{4x^2}\).

Затем найдем производную второго слагаемого \(16\):

\(\frac{d}{dx}(16) = 0\) - производная константы равна нулю.

Теперь соберем все слагаемые вместе, чтобы получить дифференциал функции \(y\):

\(\frac{dy}{dx} = \frac{2x\cos{x} - 2\sin{x}}{4x^2} + 0 = \frac{2x\cos{x} - 2\sin{x}}{4x^2}\).

Таким образом, дифференциал функции \(y = \frac{\sin{x}}{2x} + 16\) равен \(\frac{2x\cos{x} - 2\sin{x}}{4x^2}\).

B) Для нахождения дифференциала функции \(y = \frac{\cos{x}}{5x} + 9\) используем аналогичные шаги:

\(\frac{d}{dx}(\cos{x}) = -\sin{x}\) - производная косинуса по правилу дифференцирования элементарной функции.

\(\frac{d}{dx}\left(\frac{\cos{x}}{5x}\right) = \frac{(5x)(-\sin{x}) - \cos{x}\cdot5}{(5x)^2} = \frac{-5x\sin{x} - 5\cos{x}}{25x^2}\).

\(\frac{d}{dx}(9) = 0\) - производная константы равна нулю.

Собираем все слагаемые вместе:

\(\frac{dy}{dx} = \frac{-5x\sin{x} - 5\cos{x}}{25x^2} + 0 = \frac{-5x\sin{x} - 5\cos{x}}{25x^2}\).

Таким образом, дифференциал функции \(y = \frac{\cos{x}}{5x} + 9\) равен \(\frac{-5x\sin{x} - 5\cos{x}}{25x^2}\).

C) Для нахождения дифференциала функции \(y = \frac{x^5 + 8}{\sin{x}}\) применим правила дифференцирования арифметических операций:

\(\frac{d}{dx}(x^5 + 8) = 5x^4\) - производная многочлена по правилу дифференцирования элементарной функции.

\(\frac{d}{dx}(\sin{x}) = \cos{x}\) - производная синуса по правилу дифференцирования элементарной функции.

Теперь применим правило дифференцирования частного:

\(\frac{d}{dx}\left(\frac{x^5 + 8}{\sin{x}}\right) = \frac{(x^5 + 8)(\cos{x}) - (\sin{x})(5x^4)}{(\sin{x})^2}\).

Таким образом, дифференциал функции \(y = \frac{x^5 + 8}{\sin{x}}\) равен

\(\frac{(x^5 + 8)(\cos{x}) - (\sin{x})(5x^4)}{(\sin{x})^2}\).

D) Для нахождения дифференциала функции \(y = 5x^3 + 2e^x\) применим правила дифференцирования:

\(\frac{d}{dx}(5x^3) = 15x^2\) - производная многочлена по правилу дифференцирования элементарной функции.

\(\frac{d}{dx}(2e^x) = 2e^x\) - производная экспоненты по правилу дифференцирования элементарной функции.

Собираем все слагаемые вместе:

\(\frac{dy}{dx} = 15x^2 + 2e^x\).

Таким образом, дифференциал функции \(y = 5x^3 + 2e^x\) равен \(15x^2 + 2e^x\).

E) Для нахождения дифференциала функции \(y = e^x + \frac{6}{x^3}\) применим правила дифференцирования:

\(\frac{d}{dx}(e^x) = e^x\) - производная экспоненты по правилу дифференцирования элементарной функции.

\(\frac{d}{dx}\left(\frac{6}{x^3}\right) = \frac{-18}{x^4}\) - производная обратной функции \(x^{-3}\) по правилу дифференцирования обратной функции.

Собираем все слагаемые вместе:

\(\frac{dy}{dx} = e^x - \frac{18}{x^4}\).

Таким образом, дифференциал функции \(y = e^x + \frac{6}{x^3}\) равен \(e^x - \frac{18}{x^4}\).