Показати, що центр кола, що вписане в рівнобічну трапецію ABCD (де AB = CD) та проходить через вершини A і B і точку

Лина_2710

43

Для решения данной задачи рассмотрим рисунок с рівнобічною трапецією ABCD:

\[
\begin{{array}}{{c}}
A-------E-------B \\
\! | | | \! \\
\! | | | \! \\
D-------M-------C
\end{{array}}
\]

Где E - точка пересечения диагоналей AC и BD, а M - центр окружности, вписанной в трапецию ABCD.
Для начала, давайте запишем некоторые свойства рівнобедреної трапеції:

1. В рівнобедрену трапецію основи (AB=CD) паралельні.
2. Серединний перпендикуляр к основі (AC) проходит через центр окружности, вписанной в трапецію.
3. Он це свойство: E находится на площине.

Далее докажем, что центр окружности М проходит через вершины A и B и точку пересечения диагоналей E.

1. Рассмотрим приведенную ниже схему с белым фоном:
\[
\begin{{array}}{{c}}
A-------E-------B \\
\! | | | \! \\
\! | | | \! \\
D-------M-------C
\end{{array}}
\]

Из свойства №1 очевидно, что AB и CD параллельны и имеют одинаковую длину.
2. Заметим, что для рівнобедреної трапеції AD = CB. Давайте обозначим AD = CB = a.
3. Также высота трапеции, проведенная из вершины A, равна высоте, проведенной из вершины B. Обозначим это расстояние, проведенное от вершины A до линии BC, как h.

Теперь рассмотрим точку пересечения диагоналей E. Проведем от нее перпендикуляры к сторонам трапеции AD и BC, обозначенные как EM и EN, соответственно.

По свойству №2, мы знаем, что эти два перпендикуляра проходят через центр окружности M.

Продолжим рассуждения:

4. Так как EM и EN - это высоты равнобедренных трапеций EMAD и ENBC, они также равны между собой и обозначим их как h_1.

Теперь рассмотрим прямоугольники AMED и BMNC:

5. Внутри страницы, где этот текст отображается, всплывает окно с запросом включения LaTex для корректного отображения формул. Пожалуйста, разрешите использование LaTex

В прямоугольнике AMED:
Для рассмотренного прямоугольника AMED, AM = DE = h_1 и MA = ME = a.
Таким образом, он по своей сути переигрывает квадрат со сторонами h_1 и a.

6. В прямоугольнике BMNC:
Для рассмотренного прямоугольника BMNC, BN = MC = h_1 и MB = NC = a.
Он также имеет форму квадрата со сторонами h_1 и a.

Теперь рассмотрим прямоугольник AMCN. В нем:

7. AM = MC, так как они являются диагоналями квадрата AMNC.
8. BC = AD, так как они являются вертикальными сторонами AMCN.

Теперь мы видим, что BC = AD и AM = MC. Так как BC и AD являются сторонами рівнобедреної трапеції ABCD, и AMC - это прямоугольник, это означает, что центр окружности M действительно проходит через вершины A и B, а также точку пересечения диагоналей E.

Таким образом, мы показали, что центр окружности, вписанной в рівнобедренную трапецию ABCD, проходит через вершины A и B и точку пересечения диагоналей E, как и было требуемым в задании.