Покажите, что cos 10° * sin 20° * cos 70° * sin 80° равно cos² 10° * sin²

Izumrudnyy_Drakon

29

Давайте посмотрим, как можно доказать равенство \(\cos 10° \cdot \sin 20° \cdot \cos 70° \cdot \sin 80°\) равным \(\cos^2 10° \cdot \sin^2 20°\).

Шаг 1: Начнем с правой части \(\cos^2 10° \cdot \sin^2 20°\).

\(\cos^2 10°\) означает квадрат косинуса 10 градусов, а \(\sin^2 20°\) означает квадрат синуса 20 градусов. Мы можем использовать тригонометрические тождества, чтобы упростить это выражение.

Тождество \(\cos^2 x + \sin^2 x = 1\) гласит, что сумма квадрата косинуса и квадрата синуса угла \(x\) равна 1.

Применим это тождество к \(\cos^2 10°\) и \(\sin^2 20°\):
\(\cos^2 10° + \sin^2 10° = 1\) и \(\sin^2 20° + \cos^2 20° = 1\).

Теперь воспользуемся свойством коммутативности умножения и сократим правую часть:
\(\cos^2 10° \cdot \sin^2 20° = \sin^2 20° \cdot \cos^2 10°\).

Шаг 2: Теперь рассмотрим левую часть \(\cos 10° \cdot \sin 20° \cdot \cos 70° \cdot \sin 80°\).

Мы можем применить свойства коммутативности умножения и прокомментировать некоторые углы.

\(\cos 10° \cdot \sin 20° \cdot \cos 70° \cdot \sin 80° = \cos 10° \cdot \cos 70° \cdot \sin 20° \cdot \sin 80°\).

Теперь давайте рассмотрим значения косинуса и синуса для этих углов.

Значение косинуса 10 градусов можно записать как \(\cos 10°\) и значение синуса 20 градусов можно записать как \(\sin 20°\).

Значение косинуса 70 градусов можно записать как \(\cos(90° - 20°) = \sin 20°\) (по формуле синуса дополнения), а значение синуса 80 градусов можно записать как \(\sin(90° - 10°) = \cos 10°\) (по формуле синуса дополнения).

Теперь наше выражение превратилось в \(\cos 10° \cdot \sin 20° \cdot \sin 20° \cdot \cos 10°\).

Шаг 3: Давайте сравним полученное выражение с правой частью.

Как видно, выражение \(\cos 10° \cdot \sin 20° \cdot \sin 20° \cdot \cos 10°\) теперь совпадает с правой частью \(\cos^2 10° \cdot \sin^2 20°\), которую мы получили на шаге 1.

Таким образом, мы доказали равенство \(\cos 10° \cdot \sin 20° \cdot \cos 70° \cdot \sin 80° = \cos^2 10° \cdot \sin^2 20°\).

Рад, что смог помочь! Если у вас есть дополнительные вопросы, не стесняйтесь задавать.