Покажите, что если две точки прямой лежат внутри плоскости, то вся прямая также лежит в этой плоскости

Якобин

38

Для доказательства того, что если две точки прямой лежат внутри плоскости, то вся прямая также лежит в этой плоскости, можно воспользоваться следующими шагами:

Шаг 1: Представьте прямую и плоскость в трехмерном пространстве. Задайте координаты для каждой точки прямой и плоскости в трехмерной системе координат.

Шаг 2: Обозначим точки прямой как \(A\) и \(B\), а плоскость как \(\alpha\).

Шаг 3: Пусть точка \(A\) имеет координаты \((x_1, y_1, z_1)\), а точка \(B\) - координаты \((x_2, y_2, z_2)\).

Шаг 4: Рассмотрим произвольную точку \(P\) на прямой \(AB\) и с координатами \((x, y, z)\). Цель состоит в том, чтобы показать, что данная точка также лежит в плоскости \(\alpha\).

Шаг 5: Используя свойства прямой, мы можем записать, что векторная разность между точкой \(P\) и точкой \(A\) равна вектору, направленному по прямой \(AB\):

\(\vec{AP} = (x - x_1, y - y_1, z - z_1)\)

Шаг 6: Также, используя свойства прямой, мы можем записать, что векторная разность между точкой \(B\) и точкой \(A\), а также между точкой \(P\) и точкой \(B\) равна нулю:

\(\vec{AB} = (x_2 - x_1, y_2 - y_1, z_2 - z_1)\)
\(\vec{BP} = (x - x_2, y - y_2, z - z_2)\)

Шаг 7: Теперь мы можем записать, что векторы \(\vec{AP}\) и \(\vec{AB}\) коллинеарны (то есть параллельны или лежат на одной прямой), так как они указывают в одном направлении. То же самое относится и к векторам \(\vec{BP}\) и \(\vec{AB}\).

Шаг 8: Так как векторы \(\vec{AP}\) и \(\vec{AB}\) коллинеарны, можно записать соответствующее отношение:

\(\frac{x - x_1}{x_2 - x_1} = \frac{y - y_1}{y_2 - y_1} = \frac{z - z_1}{z_2 - z_1}\)

Шаг 9: Аналогично, для векторов \(\vec{BP}\) и \(\vec{AB}\), получим:

\(\frac{x - x_2}{x_2 - x_1} = \frac{y - y_2}{y_2 - y_1} = \frac{z - z_2}{z_2 - z_1}\)

Шаг 10: Из шага 8 и шага 9 следует, что оба набора отношений равны между собой:

\(\frac{x - x_1}{x_2 - x_1} = \frac{x - x_2}{x_2 - x_1}\)
\(\frac{y - y_1}{y_2 - y_1} = \frac{y - y_2}{y_2 - y_1}\)
\(\frac{z - z_1}{z_2 - z_1} = \frac{z - z_2}{z_2 - z_1}\)

Шаг 11: Рассмотрим только одно из этих отношений, например:

\(\frac{x - x_1}{x_2 - x_1} = \frac{x - x_2}{x_2 - x_1}\)

Шаг 12: Перепишем это отношение с общим знаменателем:

\((x - x_1)(x_2 - x_1) = (x - x_2)(x_2 - x_1)\)

Шаг 13: Упростим это уравнение:

\(x(x_2 - x_1) - x_1(x_2 - x_1) = x(x_2 - x_1) - x_2(x_2 - x_1)\)
\(0 = 0\)

Шаг 14: Получаем, что данное уравнение верно и выполняется для любых значений \(x\). Аналогично можно показать, что остальные отношения также выполняются.

Шаг 15: Из шага 14 следует, что координаты точки \(P\) удовлетворяют отношениям, определенным для всех точек лежащих на прямой \(AB\). Это означает, что все точки прямой лежат в плоскости \(\alpha\).

Таким образом, доказано, что если две точки прямой лежат внутри плоскости, то вся прямая также лежит в этой плоскости.