Пользуясь свойствами комбинаций, вычислите сумму и проверьте, верно ли полученное равенство при n=3;4

Tayson

9

Конечно! Для начала, давайте определим, что такое комбинация. Комбинация - это набор объектов, выбранных из заданного множества, где порядок не имеет значения. Задача заключается в вычислении суммы комбинаций и проверке равенства для заданных значений n.

Предположим, что у нас есть множество элементов, и нам нужно выбрать из него комбинации размером n.

Чтобы вычислить количество комбинаций, можно использовать формулу сочетания:

\[
C(n,k) = \frac{{n!}}{{k!(n-k)!}}
\]

где n! (читается как "n факториал") - это произведение всех натуральных чисел от 1 до n.

Теперь, чтобы найти сумму комбинаций заданного размера, мы можем просто просуммировать все возможные комбинации. Используя комбинаторное свойство, называемое "сумма сочетаний", мы можем записать это следующим образом:

\[
\sum_{{k=0}}^n C(n,k) = 2^n
\]

Давайте применим эти формулы для значений n = 3 и n = 4.

Для n = 3:

\[
C(3,0) + C(3,1) + C(3,2) + C(3,3) = \frac{{3!}}{{0!(3-0)!}} + \frac{{3!}}{{1!(3-1)!}} + \frac{{3!}}{{2!(3-2)!}} + \frac{{3!}}{{3!(3-3)!}}
\]

Расчитаем числитель и знаменатель для каждого слагаемого:

\[
1 + 3 + 3 + 1 = 8
\]

Теперь посчитаем 2 в степени 3:

\[
2^3 = 8
\]

Мы видим, что сумма комбинаций для n = 3 равна 8, что также является результатом вычисления 2 в степени 3. Таким образом, полученное равенство верно для n = 3.

Теперь рассмотрим случай с n = 4:

\[
C(4,0) + C(4,1) + C(4,2) + C(4,3) + C(4,4) = \frac{{4!}}{{0!(4-0)!}} + \frac{{4!}}{{1!(4-1)!}} + \frac{{4!}}{{2!(4-2)!}} + \frac{{4!}}{{3!(4-3)!}} + \frac{{4!}}{{4!(4-4)!}}
\]

Расчитаем значения:

\[
1 + 4 + 6 + 4 + 1 = 16
\]

А теперь найдем 2 в степени 4:

\[
2^4 = 16
\]

Мы видим, что сумма комбинаций для n = 4 также равна 16, что совпадает с результатом вычисления 2 в степени 4. Следовательно, полученное равенство верно и для n = 4.

Таким образом, при значениях n = 3 и n = 4 полученное равенство верно, и сумма комбинаций равна 2 в степени n.