Постройте график функции f и проведите касательную к этому графику, проходящую через точку с абсциссой х₀. Используя

Liya

65

Хорошо, давайте построим график функции \(f(x) = \frac{x^2}{2} + 1\) и проведем касательные через точки с абсциссами \(x_0 = -2\), \(x_0 = 1\) и \(x_0 = -1\).

Для начала, построим график функции \(f(x)\). Для этого мы можем использовать координатную плоскость. Абсцисса будет представлена осью \(x\), а ордината - осью \(y\). Давайте определим несколько точек на оси \(x\) и найдем соответствующие значения функции \(f(x)\).

Теперь, найдем значение функции \(f(x)\) для каждой точки. Для \(x = -2\) получаем:

\[f(-2) = \frac{(-2)^2}{2} + 1 = \frac{4}{2} + 1 = 3\]

Для \(x = 1\):

\[f(1) = \frac{1^2}{2} + 1 = \frac{1}{2} + 1 = \frac{3}{2}\]

И для \(x = -1\):

\[f(-1) = \frac{(-1)^2}{2} + 1 = \frac{1}{2} + 1 = \frac{3}{2}\]

Теперь давайте нарисуем график функции \(f(x)\), используя эти точки.

\[ \begin{array}{|c|c|}
\hline
x & f(x) \\
\hline
-2 & 3 \\
\hline
1 & \frac{3}{2} \\
\hline
-1 & \frac{3}{2} \\
\hline
\end{array} \]

Теперь, чтобы построить касательные линии через каждую из этих точек, мы можем использовать угловой коэффициент этих линий. Угловой коэффициент \(k\) выражается формулой \(k = \frac{{f(x_0) - f(x)}}{{x_0 - x}}\), где \(x_0\) - абсцисса начальной точки, а \(x\) - произвольная точка на прямой.

Давайте вычислим угловой коэффициент для каждой касательной, используя заданные точки и формулу.

Для \(x_0 = -2\) и \(x = -3\) угловой коэффициент будет:

\[k = \frac{{f(-2) - f(-3)}}{{-2 - (-3)}} = \frac{{3 - (-1)}}{{-2 + 3}} = 4\]

Для \(x_0 = 1\) и \(x = 2\) угловой коэффициент будет:

\[k = \frac{{f(1) - f(2)}}{{1 - 2}} = \frac{{\frac{3}{2} - 3}}{{1 - 2}} = -\frac{3}{2}\]

Для \(x_0 = -1\) и \(x = -2\) угловой коэффициент будет:

\[k = \frac{{f(-1) - f(-2)}}{{-1 - (-2)}} = \frac{{\frac{3}{2} - 3}}{{-1 + 2}} = -\frac{3}{2}\]

Теперь, используя найденные угловые коэффициенты, давайте построим касательные линии на нашем графике функции \(f(x)\):

- Для \(x_0 = -2\), угловой коэффициент \(k = 4\), проходящая через точку \((-2, 3)\).

- Для \(x_0 = 1\), угловой коэффициент \(k = -\frac{3}{2}\), проходящая через точку \((1, \frac{3}{2})\).

- Для \(x_0 = -1\), угловой коэффициент \(k = -\frac{3}{2}\), проходящая через точку \((-1, \frac{3}{2})\).

Теперь, чтобы определить знак углового коэффициента каждой касательной, давайте посмотрим на их графическую интерпретацию:

1. Касательная с угловым коэффициентом \(k = 4\) в точке \((-2, 3)\) будет положительной, так как она наклонена вверх отлёживая график функции \(f(x)\).

2. Касательная с угловым коэффициентом \(k = -\frac{3}{2}\) в точке \((1, \frac{3}{2})\) также будет положительной, так как она наклонена вверх, пресекая график функции \(f(x)\).

3. Касательная с угловым коэффициентом \(k = -\frac{3}{2}\) в точке \((-1, \frac{3}{2})\) также будет положительной, так как она наклонена вверх, пресекая график функции \(f(x)\).

Надеюсь, это помогло вам понять, как построить график функции \(f\) и определить знак углового коэффициента касательных.