Постройте график функции f(x)=-x²-4x+1, используя результаты вычислений в 1б. Найдите по графику следующее: а) корни

Звездный_Пыл

49

Хорошо, давайте решим вашу задачу.

1. Построение графика функции:

Для начала, нам необходимо построить график функции \(f(x) = -x^2 - 4x + 1\).

Для этого мы можем использовать несколько способов. Один из них - построение таблицы значений функции и нахождение координат точек.

Давайте построим такую таблицу:
\[ \begin{array}{|c|c|}
\hline
x & f(x) \\
\hline
-3 & -2 \\
-2 & -1 \\
-1 & -2 \\
0 & 1 \\
1 & -4 \\
2 & -9 \\
\hline
\end{array} \]

Теперь, с помощью полученных данных, мы можем построить график функции на координатной плоскости:

\[
\begin{array}{cccccccccccccccccccccccccc}
\hline
& & & & & & & \bullet & & & & & & & & \\
\hline
& & & & & & & \bullet & & & & & & & & \\
\hline
& & & & & & \bullet & & \bullet & & & & & & & \\
\hline
& & & & & \bullet & & & & \bullet & & & & & & \\
\hline
& & & \bullet & & & & & & & \bullet & & & & & \\
\hline
\end{array}
\]

Таким образом, мы построили график функции \(f(x)=-x^2-4x+1\).

2. Корни функции и интервалы, на которых \(f(x)\) равно нулю:

Чтобы найти корни функции, нам необходимо решить уравнение \(f(x) = -x^2 - 4x + 1 = 0\).

Для этого можно воспользоваться различными методами, например, методом факторизации или квадратным трехчленом.

Если мы решим данное уравнение, мы получим два корня: \(x_1 \approx -2.79\) и \(x_2 \approx 0.36\).

Также, чтобы найти интервалы, на которых \(f(x)\) равно нулю, мы должны проанализировать знаки функции в разных интервалах. Будьте внимательны, ставим плюс или минус перед значением при \(х\) при подстановке в уравнение.

Исходя из построенного графика, мы видим, что функция \(f(x)\) имеет значения больше нуля в интервале \((-3, -2)\) и интервале \((0, 1)\). Функция имеет значения меньше нуля в интервале \((-2, -1)\).

3. Интервалы возрастания и убывания функции, а также максимальное значение:

Для определения интервалов возрастания и убывания функции, а также поиска максимального значения, мы должны проанализировать производную функции \(f"(x)\).

Вычислим производную функции \(f(x)\):
\[ f"(x) = -2x - 4 \]

Далее, найдем точки экстремума, приравняв производную к нулю и решив уравнение:
\[ -2x - 4 = 0 \]

Таким образом, найдем точку экстремума: \(x = -2\).

Анализируя знаки производной функции \(f"(x)\) в интервалах, мы устанавливаем, что функция \(f(x)\) возрастает на интервале \((-\infty, -2)\) и убывает на интервале \((-2, +\infty)\).

Максимальное значение функции соответствует вершине параболы вниз графика функции \(f(x)\). В данном случае, вершина находится в точке \((-2, -3)\), и максимальное значение функции равно \(-3\).

Итак, чтобы резюмировать ответы на ваш вопрос:

а) Корни функции \(f(x)=-x^2-4x+1\) равны \(x_1 \approx -2.79\) и \(x_2 \approx 0.36\). Интервалы, на которых \(f(x)\) равно нулю, - это \((-3, -2)\) и \((0, 1)\).

б) Функция \(f(x)\) возрастает на интервале \((-\infty, -2)\) и убывает на интервале \((-2, +\infty)\). Максимальное значение функции равно \(-3\).