Постройте график функции y=1/2x^2-2x+6 и найдите: а) Все значения, при которых функция принимает отрицательные

Mishutka

66

Хорошо, начнем с построения графика функции \(y = \frac{1}{2}x^2 - 2x + 6\).

Для построения графика функции, нам понадобятся несколько значений \(x\) и соответствующие им значения \(y\). Давайте выберем несколько точек и вычислим значения функции для этих точек.

Подставим некоторые значения \(x\) в функцию и найдем соответствующие значения \(y\):

\(x = -2\): \(y = \frac{1}{2}(-2)^2 - 2(-2) + 6 = 2\)

\(x = -1\): \(y = \frac{1}{2}(-1)^2 - 2(-1) + 6 = 6\)

\(x = 0\): \(y = \frac{1}{2}(0)^2 - 2(0) + 6 = 6\)

\(x = 1\): \(y = \frac{1}{2}(1)^2 - 2(1) + 6 = 4\)

\(x = 2\): \(y = \frac{1}{2}(2)^2 - 2(2) + 6 = 4\)

\(x = 3\): \(y = \frac{1}{2}(3)^2 - 2(3) + 6 = 6\)

Теперь, когда у нас есть несколько точек, мы можем построить график функции \(y = \frac{1}{2}x^2 - 2x + 6\).

\[
\begin{array}{c|c}
x & y \\
\hline
-2 & 2 \\
-1 & 6 \\
0 & 6 \\
1 & 4 \\
2 & 4 \\
3 & 6 \\
\end{array}
\]

Теперь построим график, отметив на координатной плоскости точки \((-2, 2)\), \((-1, 6)\), \((0, 6)\), \((1, 4)\), \((2, 4)\), \((3, 6)\) и проведя плавную кривую через эти точки.

\[graph\]

Теперь перейдем ко второй части задачи.

а) Чтобы найти значения \(x\), при которых функция принимает отрицательные значения, нам нужно найти корни квадратного уравнения \(y = \frac{1}{2}x^2 - 2x + 6 = 0\).

Для этого мы можем решить уравнение методом квадратного корня или использовать формулу дискриминанта. Давайте воспользуемся формулой дискриминанта.

Дискриминант \(D\) квадратного уравнения \(ax^2 + bx + c = 0\) вычисляется по формуле \(D = b^2 - 4ac\).

В нашем случае, уравнение имеет вид \(y = \frac{1}{2}x^2 - 2x + 6\), поэтому \(a = \frac{1}{2}\), \(b = -2\) и \(c = 6\).

Вычислим дискриминант \(D\):

\(D = (-2)^2 - 4 \cdot \frac{1}{2} \cdot 6 = 4 - 12 = -8\)

Так как дискриминант отрицательный (\(D < 0\)), у нас нет действительных корней, а значит, функция не принимает отрицательных значений.

б) Чтобы найти промежутки возрастания функции, нам нужно найти значения \(x\), при которых производная функции положительна.

Производная функции \(y = \frac{1}{2}x^2 - 2x + 6\) можно найти, взяв производную каждого члена функции по отдельности.

Пусть \(f(x) = \frac{1}{2}x^2 - 2x + 6\). Тогда производная функции \(f"(x)\) равна:

\[f"(x) = \frac{d}{dx} \left( \frac{1}{2}x^2 - 2x + 6 \right) = 2 \cdot \left( \frac{1}{2}x \right) - 2 = x - 2\]

Теперь мы можем найти значения \(x\) при которых производная функции положительна.

Решим неравенство \(x - 2 > 0\):

\(x > 2\)

Таким образом, промежутки возрастания функции \(y = \frac{1}{2}x^2 - 2x + 6\) находятся при \(x > 2\).