Постройте график функции y=3+9⋅x/3⋅x2+x и определите, в каких случаях прямая y=kx пересекает этот график в одной

Alekseevna

52

Для начала построим график функции \(y = \frac{3 + 9x}{3x^2 + x}\).

Чтобы построить график, мы будем использовать некоторые точки на плоскости, подставляя значения \(x\) в функцию и находя соответствующие значения \(y\).

Давайте найдем значения \(y\) для нескольких значений \(x\) и построим таблицу:

\[
\begin{array}{|c|c|}
\hline
x & y \\
\hline
-2 & 3.20 \\
-1 & 0.00 \\
0 & \text{неопределено} \\
1 & -0.38 \\
2 & 0.15 \\
\hline
\end{array}
\]

Теперь, используя полученные значения, мы можем построить график. Нарисуем точки \((-2, 3.20)\), \((-1, 0.00)\), \((1, -0.38)\) и \((2, 0.15)\) на координатной плоскости и соединим их гладкой кривой. Обратите внимание, что при \(x = 0\) функция не определена, поэтому мы не можем нарисовать точку для \(x = 0\).

\[Картинка с графиком\]

Теперь перейдем ко второй части задачи, где нужно определить, в каких случаях прямая \(y = kx\) пересекает график функции \(y = \frac{3 + 9x}{3x^2 + x}\) в одной точке.

Для этого воспользуемся графиком функции и знанием, что прямая \(y = kx\) пересекает график в одной точке, если они имеют ровно одну общую точку.

Вспомним формулу прямой: \(y = kx\). Как видно из графика функции \(y = \frac{3 + 9x}{3x^2 + x}\), она представляет собой параболу. Найдем в каких случаях парабола и прямая могут пересечься в одной точке и рассмотрим два специальных случая:

1. Когда прямая касается параболы в одной точке. Это произойдет, когда прямая будет касаться параболы на ее вершине. То есть, если \(k = \frac{{dy}}{{dx}}\) в точке вершины параболы.

2. Когда прямая проходит через вершину параболы. В этом случае \(k\) должно быть равно \(\frac{{y_1}}{{x_1}}\), где \((x_1, y_1)\) - координаты вершины параболы.

Заметим, что касание параболы и горизонтальная прямая (\(k = 0\)) никогда не пересекаются в одной точке, так как прямая не изменяет свое положение по оси \(y\). То есть, уравнение \(0 = \frac{{dy}}{{dx}}\) не имеет решений в данном случае.

Зная все это, мы можем ответить на вопрос задачи. В случае данной функции \(y = \frac{{3 + 9x}}{{3x^2 + x}}\), прямая \(y = kx\) будет пересекать график функции в одной точке, если это либо горизонтальная прямая (\(k = 0\)), либо если \(k = \frac{{dy}}{{dx}}\) в точке вершины параболы.

Если у вас возникнут дополнительные вопросы или вам необходимо более детальное объяснение, пожалуйста, дайте знать!