Постройте график функции y=3x/4+x^2. Перепишите область определения функции: D(f)= 3. Горизонтальной асимптотой графика

  • 16
Постройте график функции y=3x/4+x^2. Перепишите область определения функции: D(f)= 3. Горизонтальной асимптотой графика функции является прямая y= 4. Перепишите формулу производной заданной функции: y′= 5. Вычислите стационарные точки: x1,2=± 6. Вычислите точки экстремума: xmax= xmin= 7. Укажите промежутки монотонности функции: функция возрастает, если x∈[ фукнция убывает, если
Skrytyy_Tigr
45
Хорошо! Давайте начнем с построения графика функции y=3x4+x2.

Чтобы построить график, мы можем использовать некоторые важные характеристики функции, такие как вершина параболы, направление открывания и промежутки монотонности.

Посмотрим на данную функцию. Она является параболой вида y=ax2+bx+c, где a=1, b=34 и c=0. Поэтому у нас есть парабола с положительным коэффициентом перед x2, что означает, что она открывается вверх.

Для того чтобы найти вершину параболы, мы можем использовать формулу x=b2a. В данном случае, это будет x=3421=38.

Теперь мы можем найти значение y в вершине, подставив x в исходное уравнение. Получаем y=3(38)4+(38)2=932.

Таким образом, вершина параболы находится в точке (3/8,9/32).

Для определения области определения функции (D(f)) мы должны учесть ограничения на значения x. В данной функции область определения равна всем действительным числам.

Теперь давайте перейдем к горизонтальной асимптоте. Заданная функция имеет горизонтальную асимптоту y=4. Это означает, что график функции стремится к прямой y=4 при x стремящемся к бесконечности или минус бесконечности.

Формула производной для данной функции y=3x4+x2 будет y"=34+2x.

Чтобы найти стационарные точки (точки, в которых производная равна нулю), мы должны решить уравнение y"=0.

34+2x=0

2x=34

x=38

Таким образом, стационарная точка равна 38.

Теперь вычислим точки экстремума. Чтобы это сделать, нам нужно найти значения функции y в стационарной точке и в вершине параболы.

Если подставить x=38 в уравнение функции, мы получаем y=3(38)4+(38)2=932. Это значение соответствует вершине параболы, которую мы уже нашли.

Поэтому стационарная точка и вершина параболы совпадают и имеют координаты (3/8,9/32).

Наконец, определим промежутки монотонности (интервалы, на которых функция возрастает или убывает).

Поскольку коэффициент перед x2 положительный, функция возрастает на всей области определения. То есть, функция возрастает при x(,).

Вот и готово! Мы построили график функции, переписали область определения, нашли горизонтальную асимптоту, формулу производной, стационарные точки, точки экстремума и промежутки монотонности функции.

Если у вас есть еще вопросы или что-то непонятно, пожалуйста, сообщите мне. Я всегда готов помочь!