Постройте график функции y=3x/4+x^2. Перепишите область определения функции: D(f)= 3. Горизонтальной асимптотой графика

Skrytyy_Tigr

45

Хорошо! Давайте начнем с построения графика функции \(y = \frac{3x}{4} + x^2\).

Чтобы построить график, мы можем использовать некоторые важные характеристики функции, такие как вершина параболы, направление открывания и промежутки монотонности.

Посмотрим на данную функцию. Она является параболой вида \(y = ax^2 + bx + c\), где \(a = 1\), \(b = \frac{3}{4}\) и \(c = 0\). Поэтому у нас есть парабола с положительным коэффициентом перед \(x^2\), что означает, что она открывается вверх.

Для того чтобы найти вершину параболы, мы можем использовать формулу \(x = -\frac{b}{2a}\). В данном случае, это будет \(x = -\frac{\frac{3}{4}}{2 \cdot 1} = -\frac{3}{8}\).

Теперь мы можем найти значение \(y\) в вершине, подставив \(x\) в исходное уравнение. Получаем \(y = \frac{3 \cdot (-\frac{3}{8})}{4} + (-\frac{3}{8})^2 = -\frac{9}{32}\).

Таким образом, вершина параболы находится в точке \((-3/8, -9/32)\).

Для определения области определения функции (D(f)) мы должны учесть ограничения на значения \(x\). В данной функции область определения равна всем действительным числам.

Теперь давайте перейдем к горизонтальной асимптоте. Заданная функция имеет горизонтальную асимптоту \(y = 4\). Это означает, что график функции стремится к прямой \(y = 4\) при \(x\) стремящемся к бесконечности или минус бесконечности.

Формула производной для данной функции \(y = \frac{3x}{4} + x^2\) будет \(y" = \frac{3}{4} + 2x\).

Чтобы найти стационарные точки (точки, в которых производная равна нулю), мы должны решить уравнение \(y" = 0\).

\(\frac{3}{4} + 2x = 0\)

\(2x = -\frac{3}{4}\)

\(x = -\frac{3}{8}\)

Таким образом, стационарная точка равна \(-\frac{3}{8}\).

Теперь вычислим точки экстремума. Чтобы это сделать, нам нужно найти значения функции \(y\) в стационарной точке и в вершине параболы.

Если подставить \(x = -\frac{3}{8}\) в уравнение функции, мы получаем \(y = \frac{3 \cdot (-\frac{3}{8})}{4} + (-\frac{3}{8})^2 = -\frac{9}{32}\). Это значение соответствует вершине параболы, которую мы уже нашли.

Поэтому стационарная точка и вершина параболы совпадают и имеют координаты \((-3/8, -9/32)\).

Наконец, определим промежутки монотонности (интервалы, на которых функция возрастает или убывает).

Поскольку коэффициент перед \(x^2\) положительный, функция возрастает на всей области определения. То есть, функция возрастает при \(x \in (-\infty, \infty)\).

Вот и готово! Мы построили график функции, переписали область определения, нашли горизонтальную асимптоту, формулу производной, стационарные точки, точки экстремума и промежутки монотонности функции.

Если у вас есть еще вопросы или что-то непонятно, пожалуйста, сообщите мне. Я всегда готов помочь!