Пожалуйста, предоставьте полное решение. Скорость космического корабля, движущегося вокруг Земли по круговой орбите

Zvezda

48

Для решения этой задачи мы можем использовать законы сохранения энергии и центробежной силы. Давайте начнем с закона сохранения энергии.

Закон сохранения энергии гласит, что сумма кинетической и потенциальной энергий системы остается постоянной. В этой задаче система состоит из Земли и космического корабля.

Пусть $v$ - скорость космического корабля, $M$ - масса Земли, $m$ - масса космического корабля, $R$ - радиус орбиты корабля вокруг Земли, $G$ - гравитационная постоянная.

Кинетическая энергия космического корабля может быть выражена как $K=\frac{1}{2}m{v}^2$, а потенциальная энергия гравитационного взаимодействия между Землей и кораблем может быть выражена как $U=-\frac{GMm}{R}$.

Согласно закону сохранения энергии, сумма кинетической и потенциальной энергий равна некоторой постоянной величине: $K+U=\text{const}$.

Теперь давайте найдем эти величины в начальном состоянии (когда корабль находится на орбите) и в конечном состоянии (когда корабль имеет скорость $v$).

Начальное состояние:
Кинетическая энергия: $K_1=\frac{1}{2}m\cdot 0^2=0$
Потенциальная энергия: $U_1=-\frac{GMm}{R}$

Конечное состояние:
Кинетическая энергия: $K_2=\frac{1}{2}m{v}^2$
Потенциальная энергия: $U_2=-\frac{GMm}{2R}$ (пояснение: Радиус орбиты увеличивается вдвое после изменения скорости)

Таким образом, закон сохранения энергии можно записать следующим образом:
$K_1+U_1=K_2+U_2$

Подставим значения и решим уравнение:
$0+(-\frac{GMm}{R})=\frac{1}{2}m{v}^2+(-\frac{GMm}{2R})$

Сократим $m$ на обеих сторонах:
$-\frac{GM}{R}=\frac{1}{2}{v}^2-\frac{GM}{2R}$

Перенесем все термины с $v$ влево, а все термины без $v$ вправо:
$\frac{GM}{R}+\frac{GM}{2R}=\frac{1}{2}{v}^2$

Сложим дроби на левой стороне:
$\frac{3GM}{2R}=\frac{1}{2}{v}^2$

Умножим обе стороны на 2:
$\frac{3GM}{R}=v^2$

Возьмем квадратный корень от обеих сторон:
$v=\sqrt{\frac{3GM}{R}}$

Теперь давайте подставим значения заданных величин и решим уравнение:
$v=\sqrt{\frac{3\cdot 6\cdot {10}^{21}\cdot 6.67\cdot {10}^{-11}}{2\cdot {10}^7}}$

После вычислений получим значение для $v$:
$v\approx 11\frac{\text{км}}{\text{с}}$

Таким образом, правильный ответ на задачу составляет 1. 11 км/с.