Пожалуйста, предоставьте полное решение. Скорость космического корабля, движущегося вокруг Земли по круговой орбите

Zvezda

48

Для решения этой задачи мы можем использовать законы сохранения энергии и центробежной силы. Давайте начнем с закона сохранения энергии.

Закон сохранения энергии гласит, что сумма кинетической и потенциальной энергий системы остается постоянной. В этой задаче система состоит из Земли и космического корабля.

Пусть \(v\) - скорость космического корабля, \(M\) - масса Земли, \(m\) - масса космического корабля, \(R\) - радиус орбиты корабля вокруг Земли, \(G\) - гравитационная постоянная.

Кинетическая энергия космического корабля может быть выражена как \(K = \frac{1}{2}mv^2\), а потенциальная энергия гравитационного взаимодействия между Землей и кораблем может быть выражена как \(U = -\frac{GMm}{R}\).

Согласно закону сохранения энергии, сумма кинетической и потенциальной энергий равна некоторой постоянной величине: \(K + U = \text{const}\).

Теперь давайте найдем эти величины в начальном состоянии (когда корабль находится на орбите) и в конечном состоянии (когда корабль имеет скорость \(v\)).

Начальное состояние:
Кинетическая энергия: \(K_1 = \frac{1}{2}m \cdot 0^2 = 0\)
Потенциальная энергия: \(U_1 = -\frac{GMm}{R}\)

Конечное состояние:
Кинетическая энергия: \(K_2 = \frac{1}{2}mv^2\)
Потенциальная энергия: \(U_2 = -\frac{GMm}{2R}\) (пояснение: Радиус орбиты увеличивается вдвое после изменения скорости)

Таким образом, закон сохранения энергии можно записать следующим образом:
\(K_1 + U_1 = K_2 + U_2\)

Подставим значения и решим уравнение:
\(0 + (-\frac{GMm}{R}) = \frac{1}{2}mv^2 + (-\frac{GMm}{2R})\)

Сократим \(m\) на обеих сторонах:
\(-\frac{GM}{R} = \frac{1}{2}v^2 - \frac{GM}{2R}\)

Перенесем все термины с \(v\) влево, а все термины без \(v\) вправо:
\(\frac{GM}{R} + \frac{GM}{2R} = \frac{1}{2}v^2\)

Сложим дроби на левой стороне:
\(\frac{3GM}{2R} = \frac{1}{2}v^2\)

Умножим обе стороны на 2:
\(\frac{3GM}{R} = v^2\)

Возьмем квадратный корень от обеих сторон:
\(v = \sqrt{\frac{3GM}{R}}\)

Теперь давайте подставим значения заданных величин и решим уравнение:
\(v = \sqrt{\frac{3 \cdot 6 \cdot 10^{21} \cdot 6.67 \cdot 10^{-11}}{2 \cdot 10^7}}\)

После вычислений получим значение для \(v\):
\(v \approx 11 \, \frac{\text{км}}{\text{с}}\)

Таким образом, правильный ответ на задачу составляет 1. 11 км/с.