Пожалуйста, вот 1. Что представляет собой область определения функции f(x) = корень(-x^2 + 6x - 5)? 2. Какие интервалы

Shokoladnyy_Nindzya

49

Давайте посмотрим на данную функцию шаг за шагом.

1. Область определения функции:
Область определения - это множество значений аргумента \(x\), при которых функция определена и имеет смысл. Чтобы определить область определения функции \(f(x)\), нужно найти значения \(x\), которые делают аргумент под корнем неотрицательным.
В данном случае, у нас есть функция \(f(x) = \sqrt{-x^2 + 6x - 5}\). Чтобы вычислить область определения, мы должны решить следующее неравенство:

\(-x^2 + 6x - 5 \geq 0\)

Для решения этого неравенства, мы можем использовать тактику умножения на -1 для изменения знака неравенства:

\(x^2 - 6x + 5 \leq 0\)

Теперь нужно найти корни этого квадратного уравнения:

\(x_{1,2} = \frac{6 \pm \sqrt{(-6)^2 - 4(1)(5)}}{2(1)}\)

\(x_{1,2} = \frac{6 \pm \sqrt{36 - 20}}{2}\)

\(x_{1,2} = \frac{6 \pm \sqrt{16}}{2}\)

\(x_{1,2} = \frac{6 \pm 4}{2}\)

\(x_{1} = 5\) и \(x_{2} = 1\)

Следовательно, область определения функции \(f(x)\) - это интервал между \(x_{1} = 5\) и \(x_{2} = 1\), включая граничные значения.

2. Интервалы возрастания и убывания функции:
Для того чтобы найти интервалы возрастания и убывания функции, мы должны проанализировать ее производную. Если производная положительна, функция возрастает, если производная отрицательна, функция убывает.

Сначала найдем производную функции \(f(x)\):

\(f"(x) = \frac{{d}}{{dx}}[\sqrt{-x^2 + 6x - 5}]\)

Чтобы упростить решение этой задачи, заменим корень на степень 1/2:

\(f"(x) = \frac{{d}}{{dx}}[(-x^2 + 6x - 5)^{\frac{1}{2}}]\)

Применим правило дифференцирования для функций, возводящихся в степень:

\(f"(x) = \frac{1}{2}(-x^2 + 6x - 5)^{-\frac{1}{2}} \cdot \frac{{d}}{{dx}}[-x^2 + 6x - 5]\)

Теперь найдем производную выражения \(-x^2 + 6x - 5\):

\(f"(x) = \frac{1}{2}(-x^2 + 6x - 5)^{-\frac{1}{2}} \cdot (-2x + 6)\)

Теперь мы можем найти интервалы возрастания и убывания, приравняв производную к нулю и решив полученное уравнение:

\(f"(x) = 0\)

\(\frac{1}{2}(-x^2 + 6x - 5)^{-\frac{1}{2}} \cdot (-2x + 6) = 0\)

Так как производная может равняться нулю только если один из множителей равен нулю, мы можем решить два уравнения:

\(-x^2 + 6x - 5 = 0\) (1)
\(-2x + 6 = 0\) (2)

Решим уравнение (1):
\(x_{1,2} = \frac{-6 \pm \sqrt{6^2 - 4(-1)(-5)}}{2(-1)}\)

\(x_{1,2} = \frac{-6 \pm \sqrt{36 - 20}}{-2}\)

\(x_{1,2} = \frac{-6 \pm \sqrt{16}}{-2}\)

\(x_{1,2} = \frac{-6 \pm 4}{-2}\)

\(x_{1} = -5\) и \(x_{2} = 1\)

Переходим к решению уравнения (2):
\(-2x + 6 = 0\)

\(x = \frac{6}{2}\)

\(x = 3\)

Теперь, чтобы определить интервалы возрастания и убывания исходной функции, расположим полученные значения \(x\) на числовой прямой:

-\(\infty\)-----------\(-5\)------------\(1\)-----------\(3\)------------+\(\infty\)

Мы видим, что функция возрастает, когда \(x\) находится в интервале \((-5, 1)\) и убывает, когда \(x\) находится в интервалах \((-\infty, -5)\) и \((1,3)\).

3. Наибольшие и наименьшие значения функции на заданном отрезке:
Чтобы найти наибольшее и наименьшее значения функции \(f(x)\) на заданном отрезке, мы должны проанализировать ее поведение на этом отрезке.

Мы уже определили, что функция возрастает на интервале \((-5, 1)\) и убывает на интервалах \((-\infty, -5)\) и \((1,3)\). Значит, наибольшее значение функции будет находиться либо в начале отрезка, либо в конце, а наименьшее значение - где-то в середине отрезка.

Подставим граничные значения отрезка в функцию \(f(x)\), чтобы найти наибольшее и наименьшее значения:

Наибольшее значение: \(f(1) = \sqrt{-1^2 + 6 \cdot 1 - 5} = \sqrt{0} = 0\)

Наименьшее значение: \(f(-5) = \sqrt{-(-5)^2 + 6 \cdot -5 - 5} = \sqrt{10}\)

Таким образом, наибольшее значение функции \(f(x)\) на заданном отрезке равно 0, а наименьшее значение равно \(\sqrt{10}\).